Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 7 Thi học sinh giỏi lớp 7 Lớp 8

Chuyên đề xác định đa thức

Ôn thi học sinh giỏi Toán THCS
Lớp: Lớp 7
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Đề thi HSG
Loại File: PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí
đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức
kiến cần thiết nhưng rời rạc ở các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng. Qua đây
giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt
quá trình độ THCS.
Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức tại x = a
Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:
f(x) =(x - a).g(x) + R
f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm)
Giả sử:
Chứng minh:
Trừ từng vế của (1) và (2) được:
nhằm củng cố kiến thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng
3 1 1 2 2 2 1 2 1
c x x x x c x x c 0 5
22
12
x x 0
nên Vì

3 1 2 2 1 2 1 1 2
c x x c x x c x x 0
3 3 2 2
Đặt
3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0
c a b ;c a b ;c a b ;c a b
f x g x 4
f x g x 3
f x g x 2
44
33
22
11
f x g x 1
Giả sử 4 giá trị phân biệt
1 2 3 4
x ;x ; x ; x
có:

1 1 0 0
a b ;a b
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì:

3 3 2 2
a b ;a b
3 2 1 0
g x b x b x b x b
3 2 1
3 2 1 0
f x a x a x a x a
3 2 1
CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY
1 . Định lý Bézout (Bơdu) về số dư của phép chia đa thức:
Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a)
2. Phƣơng pháp hệ số bất định:
thường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các
Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các lớp chuyên toán,có bài toán xác định
2
2
.f x a x bx c
, Xác định các hệ số a,b,c biết:
0 2; 1 7; 2 14f f f
Theo bài ra ta có:
f(0) = 2
0 c 2 c 2
f(1) = 0
a b 2 7 a b 5
(1)
f(-2) = -14
4a 2b 2 14 2a b 8
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = -1 và b = 6.
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x
2
+ 6x + 2.
Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax
3
+ bx
3
+ cx +d
Theo bài ra ta có:
f(0) = 1
d = 1
f(1) = 0
a + b + c = -1 (1)
f(2) = 5
4a + 2b + c = 2 (2)
f(3) = 22
9a + 3b + c = 7 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,...) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa thức:
Ví dụ 1. Cho đa thức:
Lời giải
Ví dụ 2. Xác định đa thức bậc 3 biết: f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22
Lời giải
Tương tự từ (1) và (3) có :
c
3
x
1
22
x
1
x
3
x
3
c
2
x
1
x
3
c
1
0 6
Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho
x 
23
x 0
được:
c
2
c
3
x
1
x
2
x
3
0
(7)
c
2
c
3
x
1
x
2
x
4
0
(8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:
c
3
x
3
x
4
0 c
0
0
vì
34
xx
x3 – x4 0
Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0. Từ đó và (6) được c1 = 0.
Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm.
Tương tự từ (1), (2), (4) có:
3
739
224
1
cba
cba
cba
Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x
3
- 2x + 1.
2
y f x ax bx c
cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012,
Tính f(-2)
Lời giải
Theo giả thiết ta có:
(0) 2010 2010fc
,
(1) 2011 2011 1f a b c a b  
và
( 1) 2012 2012 2f a b c a b
=> a =
3
2
, b
1
2
khi đó hàm số có dạng
2
31
2010
22
y f x x x
=> f(2) = 2017
* Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu
chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.
* Bài tập áp dụng:
Câu 1. Tìm đa thức bậc 2 biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6
Câu 2. Tìm đa thức bậc 4 biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47
Câu 3: Cho đa thức:
2
.f x a x bx c
, Xác dịnh a, b, c biết:
2 0, 2 0ff
và a là số
lớn hơn c ba đơn vị.
Câu 4: Cho hàm số
32
f x ax bx cx d
thỏa mãn:
1
1 2, 0 1, 3, 1 7
2
f f f f



Xác định giá trị a, b, c và d
Câu 5: Xác định đa thức:
32
.P x a x bx cx d
, biết:
0 2017, 1 2, 1 6, 2 6033P P P P
bằng 14.
Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)
Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự là A(x) và
B(x)
Ta có:
Ví dụ 3. Cho hàm số:
Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác
Ví dụ 3. Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư
Lời giải

Chuyên đề xác định đa thức

Chuyên đề xác định đa thức môn Toán lớp 7, 8, 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 7, 8, 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY

1. Định lý Bézout (Bodu) về số dư của phép chia đa thức

Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức tại x = a Tức là: f(x) = (x - a) \cdot g(x) + f(a)

Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:

\begin{matrix} & f(x) = (x - a) \cdot g(x) + R \\ & f(a) = (a - a) \cdot g(a) + R = R \end{matrix}

2. Phương pháp hệ số bất định

Giả sử: f(x) = a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x^{1} + a_{0}

g(x) = b_{3}x^{3} + b_{2}x^{2} + b_{1}x^{1} + b_{0}

Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì: a_{3} = b_{3};a_{2} = b_{2}

a_{1} = b_{1};a_{0} = b_{0}

Chứng minh:

Giả sử 4 giá trị phân biệt x_{1};x_{2};x_{3};x_{4} có:

\begin{matrix} & f\left( x_{1} \right) = g\left( x_{1} \right) \\ & f\left( x_{2} \right) = g\left( x_{2} \right) \\ & f\left( x_{3} \right) = g\left( x_{3} \right) \\ & f\left( x_{4} \right) = g\left( x_{4} \right) \end{matrix}

Đặt c_{3} = a_{3} - b_{3};c_{2} = a_{2} - b_{2};c_{1} = a_{1} - b_{1};c_{0} = a_{0} - b_{0}

Trừ từng vế của (1) và (2) được:

c_{3}\left( x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \right) + c_{2}\left( x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \right) + c_{1}\left( x_{1} - x_{2} \right) = 0

Vì x_{1} - x_{2} \neq 0 nên

c_{3}\left( x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} \right) + c_{2}\left( x_{1} - x_{2} \right) + c_{1} = 0

Tương tự từ (1) và (3) có:

c_{3}\left( x_{1}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}^{2} \right) + c_{2}\left( x_{1} - x_{3} \right) + c_{1} = 0

Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho x_{2} - x_{3} \neq 0 được:

c_{2} + c_{3}\left( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right) = 0

Tương tự từ (1), (2), (4) có:

c_{2} + c_{3}\left( x_{1} + x_{2} + x_{4} \right) = 0

Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:

c_{3}\left( x_{3} - x_{4} \right) = 0 \Rightarrow c_{0} = 0\text{~vì~}x_{3} \neq x_{4}x_{3} - x_{4} \neq 0

Thay c_{3} = 0 vào (8) được c_{2} = 0. Từ đó và (6) được c_{1} = 0.

Thay vào (1) được a_{0} = b_{0} suy ra đpcm.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Xác định đa thức bậc n(n = 2,3,\ldots) khi biết ( n + 1 ) có giá trị của đa thức:

Ví dụ 1. Cho đa thức: f(x) = ax^{2} + bx + c, Xác định các hệ số a,b,c biết:

f(0) = 2;f(1) = 7;f( - 2) = - 14

Lời giải

Theo bài ra ta có:

\begin{matrix} & f(0) = 2 \Rightarrow 0 + c = 2 \Rightarrow c = 2 \\ & f(1) = 0 \Rightarrow a + b + 2 = 7 \Rightarrow a + b = 5 \\ & f( - 2) = - 14 \Rightarrow 4a - 2b + 2 = - 14 \Rightarrow 2a - b = - 8 \end{matrix}

Từ (1) và (2) suy ra: a = - 1 và b = 6.

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = - x^{2} + 6x + 2.

Ví dụ 3. Cho hàm số: y = f(x) = ax^{2} + bx + c cho biết f(0) = 2010,f(1) = 2011,f( - 1) = 2012, Tính f( - 2)

Lời giải

Theo giả thiết ta có: f(0) = 2010 \Rightarrow c = 2010,

f(1) = 2011 \Rightarrow a + b + c = 2011 \Rightarrow a + b = 1

và f( - 1) = 2012 \Rightarrow a - b + c = 2012 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = \frac{3}{2},\text{ }b = \frac{- 1}{2}
khi đó hàm số có dạng y = f(x) = \frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x + 2010 \Rightarrow f(2) = 2017

Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.

Dạng 2, Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác

Ví dụ 3. Đa thức f(x) nếu chia cho x – 1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x – 3 được số dư bằng 14.

Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3).

Hướng dẫn giải

Cách 1. Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và x – 3 theo thứ tự là A(x) và B(x)

Ta có:

f(x) = (x – 1).A(x) + 4 với mọi x (1)

f(x) = (x – 3).B(x) + 14 với mọi x (2)

Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là R(x). Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có dạng ax + b

Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3.C(x) + ax + b với mọi x (3)

Thay x = 1 vào (1) và (3) ta được: f(1) = a + b

Thay x = 3 vào (2) và (3) ta được: f(3) = 14; f(3) = 3a + b

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 4\\ 3a + b = 14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 5\\ b = - 1 \end{array} \right.

Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1.

Cách 2. f(x) = (x – 1).A(x) + 4

nên (x – 3),f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1)

d(x) = (x – 3).B(x) + 14

nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2)

Lấy (2) – (1) ta được:

[(x – 1) – (x – 3)].f(x) = (x – 1)(x – 3_[A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3) nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2

\Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right).\frac{{A\left( x \right) - B\left( x \right)}}{2} + 5x - 1

Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1.

Ví dụ 4. Đa số f(s) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia x2 + 1 dư 2 x + 3. Tìm đa thứ dư khi chia f(x) cho (x + 1).(x2 + 1).

Hướng dẫn giải

Theo định lý Bơ du ta có: f(-1) = 4 (1)

Do bậc của đa thức chia (x + 1)(x2 + 1) là 3.

Nên đa thức dư có dnagj ax2 + bx + c

=> f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + bx + c

= [(x + 1).q(x) + a](x2 + 1) + bx + c – a (2)

mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: b = 2 (4); c – a = 3 (5)

Mà f(-1) = 4 nên a – b + c = 4 hay a – 2 + c = 4 (6)

Từ (5) và (6) suy ra: a = \frac{3}{2};c = \frac{9}{1}

Vậy ta được đa thức cần tìm là: \frac{3}{2}{x^2} + 2x + \frac{9}{2}.

Dạng 3. Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số

Ví dụ 6. Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyên không âm nhỏ hơn 8 và thỏa mãn f(8) = 2003.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

--------------------------------------------------------------------------

Đây là tài liệu nâng cao kiến thức về xác định đa thức. Trong các bài tập cơ bản thì bài toán sẽ đưa ra đa thức, việc cần làm của học sinh là sẽ tính giá trị của đa thức đó tại các điểm theo đề bài. Vậy khi bài toán cho giá trị của đa thức tại các điểm và yêu cầu học sinh đi tìm đa thức đó thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều lần. Bởi vậy với tài liệu này sẽ hướng dẫn các bạn học sinh để có thể làm được các dạng toán đi xác định đa thức. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Ngoài Chuyên đề về xác định đa thức, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu như Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán, Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Chọn file muốn tải về:

Chuyên đề xác định đa thức

478 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
3
6.105 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi