VnDoc.com

Chuyên đề xác định đa thức

Ôn thi học sinh giỏi Toán THCS

Tải về

Lớp: Lớp 7

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi HSG

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức

kiến cần thiết nhưng rời rạc ở các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng. Qua đây

giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt

quá trình độ THCS.

Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức tại x = a

Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:

f(x) =(x - a).g(x) + R

f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm)

Giả sử:

Chứng minh:

Trừ từng vế của (1) và (2) được:

nhằm củng cố kiến thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng

3 1 1 2 2 2 1 2 1

c x x x x c x x c 0 5

22

 

   

     

12

x x 0

nên Vì



3 1 2 2 1 2 1 1 2

c x x c x x c x x 0

   

 

     

3 3 2 2

Đặt

       

3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0

c a b ;c a b ;c a b ;c a b

f x g x 4

f x g x 3

f x g x 2

44

33

22



     

11

f x g x 1

Giả sử 4 giá trị phân biệt

1 2 3 4

x ;x ; x ; x

có:

     





1 1 0 0

a b ;a b

Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì:



3 3 2 2

a b ;a b

3 2 1 0

g x b x b x b x b

 

   

3 2 1

3 2 1 0

f x a x a x a x a

 

   

3 2 1

CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY

1 . Định lý Bézout (Bơdu) về số dư của phép chia đa thức:

Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a)

2. Phƣơng pháp hệ số bất định:

thường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các

Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các lớp chuyên toán,có bài toán xác định

2

.f x a x bx c  

, Xác định các hệ số a,b,c biết:

     

0 2; 1 7; 2 14f f f    

Theo bài ra ta có:

f(0) = 2

0 c 2 c 2    

f(1) = 0

a b 2 7 a b 5      

(1)

f(-2) = -14

4a 2b 2 14 2a b 8        

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = -1 và b = 6.

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x

2

+ 6x + 2.

Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax

3

+ bx

3

+ cx +d

Theo bài ra ta có:

f(0) = 1



d = 1

f(1) = 0



a + b + c = -1 (1)

f(2) = 5



4a + 2b + c = 2 (2)

f(3) = 22



9a + 3b + c = 7 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,...) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa thức:

Ví dụ 1. Cho đa thức:

 

Lời giải

Ví dụ 2. Xác định đa thức bậc 3 biết: f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22

Lời giải

Tương tự từ (1) và (3) có :



 











 

 

c

3

x

1

22

x

1

x

3

x

3

c

2

x

1

x

3

c

1

0 6

Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho

x 

23

x 0

được:

c

2

 c

3



x

1

 x

2

 x

3



 0

(7)

c

2

 c

3



x

1

 x

2

 x

4



 0

(8)

Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:

c

3



x

3

x

4



 0  c

0

 0

vì



34

xx

x3 – x4  0

Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0. Từ đó và (6) được c1 = 0.

Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm.

Tương tự từ (1), (2), (4) có:

3













739

224

1

cba

Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x

3

- 2x + 1.

2

y f x ax bx c   

cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012,

Tính f(-2)

Lời giải

Theo giả thiết ta có:

(0) 2010 2010fc  

,

(1) 2011 2011 1f a b c a b       

và

( 1) 2012 2012 2f a b c a b        

=> a =

3

2

, b

1

2





khi đó hàm số có dạng

 

2

31

2010

22

y f x x x   

=> f(2) = 2017

* Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu

chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.

* Bài tập áp dụng:

Câu 1. Tìm đa thức bậc 2 biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6

Câu 2. Tìm đa thức bậc 4 biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47

Câu 3: Cho đa thức:

 

2

.f x a x bx c  

, Xác dịnh a, b, c biết:

   

2 0, 2 0ff  

và a là số

lớn hơn c ba đơn vị.

Câu 4: Cho hàm số

 

32

f x ax bx cx d   

thỏa mãn:

     

1

1 2, 0 1, 3, 1 7

2

f f f f



    





Xác định giá trị a, b, c và d

Câu 5: Xác định đa thức:

 

32

.P x a x bx cx d   

, biết:

       

0 2017, 1 2, 1 6, 2 6033P P P P     

bằng 14.

Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)

Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự là A(x) và

B(x)

Ta có:

Ví dụ 3. Cho hàm số:

 

Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác

Ví dụ 3. Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư

Lời giải

Chuyên đề xác định đa thức

Chuyên đề xác định đa thức môn Toán lớp 7, 8, 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 7, 8, 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY

1. Định lý Bézout (Bodu) về số dư của phép chia đa thức:

Phần dư của phép chia đa thức $f(x)$ cho nhị thức $x - a$ bằng giá trị của đa thức tại $x = a$ Tức là: $f(x) = (x - a) \cdot g(x) + f(a)$

Chứng minh : Gọi $g(x)$ là đa thức thương và $R$ là số dư thì:

$\begin{matrix} & f(x) = (x - a) \cdot g(x) + R \\ & f(a) = (a - a) \cdot g(a) + R = R \end{matrix}$

2. Phương pháp hệ số bất định:

Giả sử: $f(x) = a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x^{1} + a_{0}$

$g(x) = b_{3}x^{3} + b_{2}x^{2} + b_{1}x^{1} + b_{0}$

Nếu $f(x) = g(x)$ với ít nhất 4 giá trị phân biệt của $x$ thì: $a_{3} = b_{3};a_{2} = b_{2}$

$a_{1} = b_{1};a_{0} = b_{0}$

Chứng minh:

Giả sử 4 giá trị phân biệt $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}$ có:

$\begin{matrix} & f\left( x_{1} \right) = g\left( x_{1} \right) \\ & f\left( x_{2} \right) = g\left( x_{2} \right) \\ & f\left( x_{3} \right) = g\left( x_{3} \right) \\ & f\left( x_{4} \right) = g\left( x_{4} \right) \end{matrix}$

Đặt $c_{3} = a_{3} - b_{3};c_{2} = a_{2} - b_{2};c_{1} = a_{1} - b_{1};c_{0} = a_{0} - b_{0}$

Trừ từng vế của (1) và (2) được:

$c_{3}\left( x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \right) + c_{2}\left( x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \right) + c_{1}\left( x_{1} - x_{2} \right) = 0$

Vì $x_{1} - x_{2} \neq 0$ nên

$c_{3}\left( x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} \right) + c_{2}\left( x_{1} - x_{2} \right) + c_{1} = 0$

Tương tự từ (1) và (3) có:

$c_{3}\left( x_{1}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}^{2} \right) + c_{2}\left( x_{1} - x_{3} \right) + c_{1} = 0$

Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho $x_{2} - x_{3} \neq 0$ được:

$c_{2} + c_{3}\left( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right) = 0$

Tương tự từ (1), (2), (4) có:

$c_{2} + c_{3}\left( x_{1} + x_{2} + x_{4} \right) = 0$

Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:

$c_{3}\left( x_{3} - x_{4} \right) = 0 \Rightarrow c_{0} = 0\text{~vì~}x_{3} \neq x_{4}x_{3} - x_{4} \neq 0$

Thay $c_{3} = 0$ vào (8) được $c_{2} = 0$ . Từ đó và (6) được $c_{1} = 0$ .

Thay vào (1) được $a_{0} = b_{0}$ suy ra đpcm.

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Xác định đa thức bậc $n(n = 2,3,\ldots)$ khi biết ( $n + 1$ ) có giá trị của đa thức:

Ví dụ 1. Cho đa thức: $f(x) = ax^{2} + bx + c$ , Xác định các hệ số $a,b,c$ biết:

$f(0) = 2;f(1) = 7;f( - 2) = - 14$

Lời giải

Theo bài ra ta có:

$\begin{matrix} & f(0) = 2 \Rightarrow 0 + c = 2 \Rightarrow c = 2 \\ & f(1) = 0 \Rightarrow a + b + 2 = 7 \Rightarrow a + b = 5 \\ & f( - 2) = - 14 \Rightarrow 4a - 2b + 2 = - 14 \Rightarrow 2a - b = - 8 \end{matrix}$

Từ (1) và (2) suy ra: $a = - 1$ và $b = 6$ .

Vậy đa thức cần tìm là: $f(x) = - x^{2} + 6x + 2$ .

Ví dụ 3. Cho hàm số: $y = f(x) = ax^{2} + bx + c$ cho biết $f(0) = 2010,f(1) = 2011,f( - 1) = 2012$ , Tính $f( - 2)$

Lời giải

Theo giả thiết ta có: $f(0) = 2010 \Rightarrow c = 2010$ ,

$f(1) = 2011 \Rightarrow a + b + c = 2011 \Rightarrow a + b = 1$

và $f( - 1) = 2012 \Rightarrow a - b + c = 2012 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = \frac{3}{2},\text{ }b = \frac{- 1}{2}$
khi đó hàm số có dạng $y = f(x) = \frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x + 2010 \Rightarrow f(2) = 2017$

Chú ý: Để xác định được đa thức bậc $n$ thì cần biết $n + 1$ giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.

--------------------------------------------------------------------------

Đây là tài liệu nâng cao kiến thức về xác định đa thức. Trong các bài tập cơ bản thì bài toán sẽ đưa ra đa thức, việc cần làm của học sinh là sẽ tính giá trị của đa thức đó tại các điểm theo đề bài. Vậy khi bài toán cho giá trị của đa thức tại các điểm và yêu cầu học sinh đi tìm đa thức đó thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều lần. Bởi vậy với tài liệu này sẽ hướng dẫn các bạn học sinh để có thể làm được các dạng toán đi xác định đa thức. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Ngoài Chuyên đề về xác định đa thức, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu như Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán, Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Chuyên đề xác định đa thức

478 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

3

5.834

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!