VnDoc.com

Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi

Ôn thi học sinh giỏi Toán THCS

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa. Số nguyên

a

được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số

nguyên, tức là

2

ab

với

b

là số nguyên.

2. Tính chất

a) Nếu

a

chẵn thì

2

4



a

b) Nếu

a

lẻ thì

 

2

18 a

c) Nếu

3a

thì

2

9a

d) Nếu

3

a

thì

 

2

13 a

e) Nếu





13

a

thì





3

19



a

; Nếu

 

13 a

thì

 

3

19 a

f) Nếu

a

là một số chính phương,

a

chia hết cho số nguyên tố

p

thì

a

chia hết cho

2

p

.

g) Nếu

2

a

chia hết cho số nguyên tố

p

thì

a

chia hết cho

p

h) Nếu tích hai số

a

và

b

là một số chính phương thì các số

a

và

b

có dạng

22

;a mp b mq

i) Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.

3. Một số kết quả “đẹp”

a) Số chính phương chỉ có chữ số tân cùng thuộc tập hợp:

 

1;2;4;5;6;9

.

b) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên

tố với số mũ chẵn.

c) Số chính phương chỉ có một trong các dạng

4k

hoặc

41k

. Không có số chính

phương nào có dạng

42k

hoặc

43k

với

 k

.

d) Số chính phương chỉ một trong các dạng

3k

hoặc

31k

. Không có số chính phương

nào có dạng

32k

với

 k

CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG (SQUARE NUMBER)

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG HOẶC LÀ TỔNG

CỦA NHIỀU SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Ví dụ 1. Cho

n

là một số tự nhiên. Chứng minh rằng:

   

1 2 31   A nn n n

là số chính

phương.

Lời giải:

Ta có:

        

22

22 2 2 2

3321323131   Annnn nn nn nn

Vì

 n

nên

2

31 nn

. Vậy

A

là số chính phương.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:

a)



2

22499...9100...09





nn

A

b)



1

11...155...56





nn

B

Lời giải:

a) Ta có:







 

2

2 21

2 2 21

22 2 1

2

22499...9100...09

224.10 99...9.10 10 9

224.10 10 1 .10 10 9

224.10 10 10 10 9

225.10 90.10 9

15.10 3





 





  

   

   

 



nn

n nn

nn n n

n nn n

nn

n

A

Vậy

A

là số chính phương.

b) Ta có :



 

1

2

11...155...56

11...155...5 1

11...1.10 5.11...1 1

10 1 10 1

.10 5. 1

99

10 10 5.10 5 9

9

10 4.10 4

9

10 2

3







 



 

  































nn

n

nn

n

nn n

nn

n

B

Do đó

B

là số chính phương.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng:

1997 1998

11...1122...225



 

A

là một số chính phương

Lời giải:

Ta có:

 





1999

1997 1998

1997 1999 1998

2

1996 1998 1998

2

1997

2

1997

11...11.10 22...22.10 5

12

10 1 .10 10 1 .10 5

99

11

10 2.5.10 25 10 5

93

100...005

33...335

3

 

   





   











































 





A

Vậy

A

là số chính phương.

Ví dụ 4. Cho

,  xy

. Chứng minh rằng:

    

4

234    A x yx yx yx y y

là số chính

phương.

Lời giải:

Ta có:

 

 



 



4

2 22 2 4

234

54 56

    

  

A x yx yx yx y y

x xy y x xy y y

Đặt

22

55  u x xy y

Khi đó

  



22

42442

  Auyuy yuyyu

Vậy

A

là số chính phương.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số liên tiếp không thể là số chính

phương.

Lời giải:

Giả sử:

2; 1; ; 1; 2  n n nn n

với

2n

là 5 số tự nhiên liên tiếp

Ta có:

       

 

22 2 2

22

2 1 1 25 2     n n nn n n

Vì

2

n

không thể có chữ số tận cùng là

3

hoặc

8

nên

   

22

25 5 2



 nn

không là số chính

phương.

Vậy tổng các bình phương của

5

số tự nhiên liên tiếp không phải số chính phương.

Chuyên đề Số chính phương

Chuyên đề Số chính phương Toán lớp 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là tài liệu tổng hợp các câu hỏi về số chính phương trong đề thi học sinh giỏi trong và ngoài nước. Phần lý thuyết sẽ tóm tắt lại định nghĩa về số chính phương đã được học từ lớp 6, đồng thời bổ sung thêm các kiến thức nâng cao về số chính phương. Bài tập được chia làm các dạng nhỏ, đi kèm với đó là các ví dụ là đề thi học sinh giỏi hay và khó trong, ngoài nước. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về chuyên đề Số chính phương này.

Ngoài Chuyên đề Số chính phương, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 như Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2019 - 2020, Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm học 2019 - 2020, Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Nội năm học 2019 - 2020... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!