270 Bài tập nâng cao môn Toán lớp 9

Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

270 BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 9

Mục lục

PHẦN I: ĐỀ BÀI................................................................................................................ 1

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI.................................................................................... 25

PHẦN I: ĐỀ BÀI

1. Chứng minh

7

là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh: (ac + bd)

2

+ (ad – bc)

2

= (a

2

+ b

2

)(c

2

+ d

2

)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)

2

≤ (a

2

+ b

2

)(c

2

+ d

2

)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x

2

+ y

2

.

4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :

a b

ab

2





.

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

bc ca ab

a b c

    

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a

3

+ b

3

.

6. Cho a

3

+ b

3

= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a

3

+ b

3

+ abc ≥ ab(a + b + c)

8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng:

a b a b  

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)

2

≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)

2

≤ 2(a

2

+ b

2

) b) (a + b + c)

2

≤ 3(a

2

+ b

2

+ c

2

)

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

11. Tìm các giá trị của x sao cho:a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x

2

– 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

= a(b + c + d)

13. Cho biểu thức M = a

2

+ ab + b

2

– 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M

đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

14. Cho biểu thức P = x

2

+ xy + y

2

– 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x

2

+ 4y

2

+ z

2

– 2a + 8y – 6z + 15 = 0

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2

1

A

x 4x 9



 

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

a)

7 15 và 7

b)

17 5 1 và 45 

c)

23 2 19

và 27

3



d)

3 2 và 2 3

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn

2

nhưng nhỏ hơn

3

19. Giải phương trình :

2 2 2

3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x       

.

20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x

2

y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy

= 4.

21. Cho

1 1 1 1

S .... ...

1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1

     

  

.

Hãy so sánh S và

1998

2.

1999

.

22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì

a

là số vô tỉ.

23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

a)

x y

2

y x

 

b)

2 2

x y x y

0

y x y x

 

   

 

 

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

c)

4 4 2 2

x y x y x y

2

y x y x y x

   

 

     

   

 

 

   

.

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

a)

1 2

b)

3

m

n



với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.

25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?

26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :

2 2

x y x y

4 3

y x y x

 

   

 

 

.

27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng :

2 2 2

x y z x y z

y z x y z x

    

.

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

29. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)

2

≤ 2(a

2

+ b

2

)

b) (a + b + c)

2

≤ 3(a

2

+ b

2

+ c

2

)

c) (a

1

+ a

2

+ ….. + a

n

)

2

≤ n(a

1

2

+ a

2

+ ….. + a

n

2

).

30. Cho a

3

+ b

3

= 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

31. Chứng minh rằng:

     

x y x y  

.

32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

1

A

x 6x 17



 

.

33. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

x y z

A

y z x

  

với x, y, z > 0.

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x

2

+ y

2

biết x + y = 4.

35. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

270 Bài tập nâng cao lớp 9 môn Toán

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn 270 Bài tập nâng cao môn Toán lớp 9. Đây là tài liệu hữu ích dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Mời thầy cô và các bạn cùng tham khảo.

270 Bài tập nâng cao môn Toán lớp 9 được VnDoc chia sẻ trên đây. Đề thi gồm 268 câu hỏi đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh ôn tập nâng cao kĩ năng giải đề thi, biết cách phân bổ thời gian làm bài. Mời các bạn tham khảo tài liệu trên

.......................................................................

Ngoài 270 Bài tập nâng cao môn Toán lớp 9. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt