Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 6: Cộng, trừ phân thức

Sách Chân trời sáng tạo

5 987

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 6: Cộng, trừ phân thức được VnDoc sưu tầm và giới thiệu với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán 8 Chân trời sáng tạo. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 6

1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu
- Khám phá 1 trang 31 Toán 8 Tập 1
- Thực hành 1 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu
3. Giải bài tập trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Trắc nghiệm Toán 8 bài 6 Chân trời sáng tạo

1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu

Khám phá 1 trang 31 Toán 8 Tập 1

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là $a$ $c{m^2}$ và có cùng chiều dài $x$ cm (Hình 1).

a) Tính chiều rộng của hình chữ nhật lớn theo hai cách khác nhau.

b) Chiều rộng của B lớn hơn chiều rộng của A bao nhiêu? Biết $b > a$

Bài giải:

a) Cách 1: Chiều rộng hình chữ nhật lớn là: $\left( {a + b} \right):x = \dfrac{{a + b}}{x}$ (cm)

Cách 2: Chiều rộng của hình chữ nhật A là: $a:x = \dfrac{a}{x}$ (cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật B là: $b:x = \dfrac{b}{x}$ (cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} = \dfrac{{a + b}}{x}$ (cm)

b) Chiều rộng của B lớn hơn chiều rộng của A là: $\dfrac{a}{x} - \dfrac{b}{x} = \dfrac{{a - b}}{x}$ (cm)

Thực hành 1 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}$

$b) \frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$

$c) \frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$

Bài giải

$a) \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}$

$b) \frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$

$=\frac{x^{2}y-xy^{2}}{x-y}=\frac{xy(x-y)}{x-y}=xy$

$c) \frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$

$=\frac{2x}{2x-y}-\frac{y}{2x-y}=\frac{2x-y}{2x-y}=1$

2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Khám phá 2 trang 32 Toán 8 Tập 1

Cho hai phân thức $A = \dfrac{{a + b}}{{ab}}$ và $B = \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$

a) Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi sau đây:

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$ ;

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$

b) Sử dụng kết quả trên, tính $A + B$ và $A - B$

Bài giải:

a) ĐKXĐ: $a \ne 0;\;b \ne 0$

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$ $= \dfrac{{\left( {a + b} \right)a}}{{ab.a}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}}$ . Vậy đa thức cần tìm là ${a^2} + ab$

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ $= \dfrac{{\left( {a - b} \right)b}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$ . Vậy đa thức cần tìm là $ab - {b^2}$

b) $A + B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} + \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab + ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + 2ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$

$A - B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} - \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab - ab + {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}b}}$

Thực hành 2 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$

$b) \frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}$

$c) \frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}$

Bài giải

$a) \frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}=\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}-\frac{3(a-3)}{(a+3)(a-3)}$

$=\frac{a^{2}+3a-3a+9}{a^{2}-9}=\frac{a^{2}+9}{a^{2}-9}$

$b) \frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{x}{2x^{2}}+\frac{4}{2x^{2}}$

$=\frac{x+4}{2x^{2}}$

$c) \frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}=\frac{4x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

$=\frac{4x-2x+2}{x(x-1)(x+)}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x(x-1)}$

Thực hành 3 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện phép tính $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}$

Bài giải

$\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}+\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}-\frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^{2}-xy+2xy-xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

Vận dụng trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trang 31. Tính giá trị của các đại lượng này khi x = 6km/h

Bài giải

Thời gian đi từ A đến B là: $\frac{3}{x+1}$ (giờ)

Thời gian đi từ B đến A là: $\frac{3}{x-1}$ (giờ)

Tổng thời gian đi và về là: $\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{3x-3+3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6x}{x^{2}-1}$ (giờ)

Thay x = 6, ta có: $\frac{6\times 6}{6^{2}-1}=\frac{36}{35}$

Chênh lệch giữa thời gian đi và về là:

$\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{3x+3-3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6}{x^{2}-1}$ (giờ)

Thay x = 6, ta có: $\frac{6}{6^{2}-1}=\frac{6}{35}$

3. Giải bài tập trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Bài tập 1 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}$

$b) \frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}$

$c) \frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}$

Bài giải

$a) \frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}=\frac{a-1+3-a}{a+1}=\frac{2}{a+1}$

$b) \frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}=\frac{-b}{b-a}+\frac{a}{b-a}$

$=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$

$c) \frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{ab}$

$=\frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4$

Bài tập 2 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}$

$b) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}$

$c) \frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}$

$d) \frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}$

$e) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}$

Bài giải

$a) \frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}=\frac{3b}{6ab}+\frac{4a}{6ab}=\frac{3b+4a}{6ab}$

$b) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x-1)}$

$=\frac{(x-1)^{2}-(x+1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1-x-x)(x-1+x+1)}{x-1}=\frac{4}{x-1}$

$c) \frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}=\frac{(x+y)z}{xyz}-\frac{(y+z)x}{xyz}$

$=\frac{xz+yz-xy-xz}{xyz}=\frac{y(z-x)}{xyz}=\frac{z-x}{xz}$

$d) \frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x-3)}-\frac{12}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{2x+6-12}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x-6}{(x+3)(x-3)}$

$=\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x+3}$

$e) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}=\frac{x-2}{(x-2)^{2}}+\frac{2}{(x-2)^{2}}$

$=\frac{x-2+2}{(x-2)^{2}}=\frac{x}{(x-2)^{2}}$

Bài tập 3 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép tính sau:

$a) \frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}$

$b) \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}$

$c) x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y$

Bài giải

$a) \frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}=\frac{x+2-x+3-x+4}{x-1}$

$=\frac{-x+9}{x-1}$

$b) \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}=\frac{x-5-x-5+2x}{x^{2}-25}$

$=\frac{-10}{x^{2}-25}$

$c) x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y=\frac{x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{x+y}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$

Bài tập 4 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cùng đi từ A đến thành phố B cách nhau 450 km, xe khách chạy với tốc độ x (km/h); xe tải chạy với tốc độ y (km/h) (x>y). Nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải bao nhiêu giờ?

Bài giải

Thời gian xe tải đi: $\frac{450}{y}$ (giờ)

Thời gian xe khách đi: $\frac{450}{x}$ (giờ)

Xe khách đến thành phố B sớm hơn $\frac{450}{y}-\frac{450}{x}=\frac{450(x-y)}{xy}$ (giờ)

Bài tập 5 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Có ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài, chiều rộng và thể tích được cho như Hình 2. Hình B và C có các kích thước giống nhau, hình A có cùng chiều rộng với B và C

a) Tính chiều cao của các hình hộp chữ nhật. Biểu thị chúng bằng các phân thức cùng mẫu số.

b) Tính tổng chiều cao của hình A và C, chênh lệch chiều cao của hình A và B

Giải Bài tập 5 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời