Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Toán 12 Kết nối tri thức bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1 23

Bài trước

Bài sau

Giải bài tập Toán 12 KNTT bài 1

Giải Toán 12 trang 5
- Mở đầu trang 5 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giải Toán 12 trang 6
- Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
- Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giải Toán 12 trang 7
Giải Toán 12 trang 9
Giải Toán 12 trang 10
Giải Toán 12 trang 12
- Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
- Vận dụng 2 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giải Toán 12 trang 13
Giải Toán 12 trang 14

Toán 12 Kết nối tri thức bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số với hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 trang 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14

Giải Toán 12 trang 5

Mở đầu trang 5 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức s(t) = t³ – 9t² + 15t, t³ 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Toán 12 Kết nối tri thức bài 1

Bài làm

Ta có s(t) = t³ – 9t² + 15t.

Có v(t) = s'(t) = 3t² – 18t + 15.

Chất điểm chuyển động sang phải khi v(t) > 0.

Có v(t) > 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} t < 1 \\ t >5 \end{matrix}\right.$ và v(t) < 0 ⇔ 1 < t < 5.

Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).

Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).

Giải Toán 12 trang 6

Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Quan sát đồ thị của hàm số y = x² (H.1.2)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Toán 12 Kết nối tri thức bài 1

Bài làm

a) Hàm số đồng trên khoảng (0; +∞).

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).

Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 2. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Bài làm

Hàm số y = x³ – 3x² + 2 đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Giải Toán 12 trang 7

Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Xét hàm số $\left\{\begin{matrix} - x nếu x < -1 \\ 1 nếu - 1\leq x \leq 1 \\ x nếu x > 1 \end{matrix}\right.$ có đồ thị như hình 1.6

a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng (−∞; −1), (1; +∞). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

b) Có nhận xét gì về đạo hàm y' và hàm số y trên khoảng (−1;1)?

Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Bài làm

a) +) Với x < −1, ta có y' = −1 < 0.

+) Với x > 1, ta có y' = 1 > 0.

Nhận xét:

+ Với x ∈ (−∞; −1), ta có y' < 0 thì hàm số nghịch biến.

+ Với x ∈ (1; +∞), ta có y' > 0 thì hàm số đồng biến.

b) Với x ∈ (−1;1) ta có y' = 0 thì hàm số y không đổi.

Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = −x² + 2x + 3.

Bài làm

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 2.

y' > 0 với x ∈ (−∞; 1) và y' < 0 với x ∈ (1; +∞).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2x + 1.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x mà f'(x) = 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài làm

a) $f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

Vậy $x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}$ thì $f'\left( x \right) = 0$

b) Bảng biến thiên:

Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

c) Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)$ và $\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)$ .

Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)$

Giải Toán 12 trang 9

Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$ ;

b) $y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}$ ;

Bài làm

a) Tập xác định: .

Ta có: $y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 5} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ .

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$ nghịch biến trên khoảng (-5;-1).

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ .

Ta có: $y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}$ đồng biến trên khoảng (1;2) và (2;3).

Hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ .

Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).

b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

Bài toán mở đầu:

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức $s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0$ . Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Bài làm

a) Ta có: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15$

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ .

Ta có: $v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.$

$v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5$ Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi $v\left( t \right) > 0$ , tức là $t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$ .

Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi $v\left( t \right) < 0$ , tức là $1 < t < 5$ .

Hoạt động 4 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Quan sát đồ thị của hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Hoạt động 4 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Bài làm

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 3x² + 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −2.

Ta có bảng biến thiên

Hoạt động 4 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có

Hoạt động 4 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giải Toán 12 trang 10

Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ . Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Bài làm

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 1$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và ${y_{C{\rm{D}}}} = y( - 1) = 5$

Hoạt động 5 trang 10 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1$ .

a) Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f'\left( x \right)$ bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Bài làm

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ .

$y' = {x^2} - 6x + 8$ , $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.$

Vậy $x = 4;x = 2$ thì $f'\left( x \right) = 0$

b) Bảng biến thiên:

Hoạt động 5 trang 10 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

c) Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1$ có điểm cực đại là $\left( {2;\frac{{23}}{3}} \right)$ .

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1$ có điểm cực tiểu là $\left( {4;\frac{{19}}{3}} \right)$ .

Câu hỏi trang 11 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Bài làm

Ta có nếu hàm số f(x) có một cực trị tại x = x₀ thì đạo hàm của hàm số đó f'(x) tại x = x₀ phải bằng 0 hoặc không tồn tại.

Nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 có nghĩa là f'(x) không chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại khi đi từ một phía của x0 sang phía khác. Điều này có nghĩa là f'(x) không đạt đến giá trị 0 tại x = x₀. Do đó x₀ không thể là một điểm cực trị.

Giải Toán 12 trang 12

Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = {x^4} - 3{x^2} + 1$ ;

b) $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 1}}{{x + 2}}$ .

Bài làm

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$ .

Ta có: $y' = 4{x^3} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}$ và ${y_{CT}} = \frac{{ - 5}}{4}$ .

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$ .

Ta có: $y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 5$ và ${y_{CT}} = 12$ .

Vận dụng 2 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: $h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}$ . Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Bài làm

Xét hàm số: $h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}$ .

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$ .

Ta có: $h'\left( t \right) = - 9,8t + 24,5;h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}$

Bảng biến thiên:

Vận dụng 2 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$ ,

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây

Giải Toán 12 trang 13

Bài 1.1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $(y = {x^3} - \frac{3}{2} {x^2})$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{{{{( {{x^2} - 4} )}^2}}}$ (H.1.12).

Bài 1.1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Bài 1.2 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1$

b) $y = - {x^3} + 2{x^2} - 5x + 3$

Bài 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$ ;

b) $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}$ .

Bài 1.4 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt {4 - {x^2}} ;$

b) $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$ .

Bài 1.5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N\left( t \right) = \frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0$ , trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N’(t) và $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right)$ . Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Xem lời giải Toán 12 trang 13

Giải Toán 12 trang 14

Bài 1.6 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'\left( x \right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Bài 1.6 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Bài 1.7 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5$ ;

b) $y = {x^4} - 4{x^2} + 2$ ;

c) $y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}$ ;

d) $y = \sqrt {4x - 2{x^2}}$ .

Bài 1.8 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$ .

a) Tính các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ . Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0. (Xem Hình 1.4)

Bài 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?