Toán 12 Kết nối tri thức bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Giải bài tập Toán 12 KNTT bài 1
Toán 12 Kết nối tri thức bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số với hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 trang 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14
Giải Toán 12 trang 5
Mở đầu trang 5 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức s(t) = t3 – 9t2 + 15t, t 
\(\geq\) 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Bài làm
Ta có s(t) = t3 – 9t2 + 15t.
Có v(t) = s'(t) = 3t2 – 18t + 15.
Chất điểm chuyển động sang phải khi v(t) > 0.
Có v(t) > 0 ⇔ \(\left\{\begin{matrix} t < 1 \\ t >5 \end{matrix}\right.\) và v(t) < 0 ⇔ 1 < t < 5.
Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; \(+\infty\)).
Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).
Giải Toán 12 trang 6
Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Quan sát đồ thị của hàm số y = x2 (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Bài làm
a) Hàm số đồng trên khoảng (0; \(+\infty\)).
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (\(-\infty\); 0).
Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Bài làm
Hàm số y = x3 – 3x2 + 2 đồng biến trên các khoảng (\(-\infty\); 0) và (2; \(+\infty\)), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Giải Toán 12 trang 7
Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Xét hàm số \(\left\{\begin{matrix} - x nếu x < -1 \\ 1 nếu - 1\leq x \leq 1 \\ x nếu x > 1 \end{matrix}\right.\) có đồ thị như hình 1.6
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng (\(-\infty\); −1), (1; \(+\infty\)). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y' và hàm số y trên khoảng (−1;1)?
Bài làm
a) +) Với x < −1, ta có y' = −1 < 0.
+) Với x > 1, ta có y' = 1 > 0.
Nhận xét:
+ Với x ∈ (\(-\infty\); −1), ta có y' < 0 thì hàm số nghịch biến.
+ Với x ∈ (1; \(+\infty\)), ta có y' > 0 thì hàm số đồng biến.
b) Với x ∈ (−1;1) ta có y' = 0 thì hàm số y không đổi.
Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = −x2 + 2x + 3.
Bài làm
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có y' = −2x + 2.
y' > 0 với x ∈ (\(-\infty\); 1) và y' < 0 với x ∈ (1; \(+\infty\)).
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (\(-\infty\); 1) và nghịch biến trên khoảng (1; \(+\infty\)).
Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1.
a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x mà f'(x) = 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài làm
a) \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)
b) Bảng biến thiên:
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Giải Toán 12 trang 9
Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\);
Bài làm
a) Tập xác định: .
Ta có: \(y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng (-5;-1).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) đồng biến trên khoảng (1;2) và (2;3).
Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
Bài toán mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Bài làm
a) Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15\)
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)
\(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5\) Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).
Hoạt động 4 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Quan sát đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:
Bài làm
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có y' = 3x2 + 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −2.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có
Giải Toán 12 trang 10
Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Hình 1.9 là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Bài làm
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 1\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) và \({y_{C{\rm{D}}}} = y( - 1) = 5\)
Hoạt động 5 trang 10 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
Bài làm
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
\(y' = {x^2} - 6x + 8\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 4;x = 2\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)
b) Bảng biến thiên:
c) Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\) có điểm cực đại là \(\left( {2;\frac{{23}}{3}} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\) có điểm cực tiểu là \(\left( {4;\frac{{19}}{3}} \right)\).
Câu hỏi trang 11 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?
Bài làm
Ta có nếu hàm số f(x) có một cực trị tại x = x0 thì đạo hàm của hàm số đó f'(x) tại x = x0 phải bằng 0 hoặc không tồn tại.
Nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 có nghĩa là f'(x) không chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại khi đi từ một phía của x0 sang phía khác. Điều này có nghĩa là f'(x) không đạt đến giá trị 0 tại x = x0. Do đó x0 không thể là một điểm cực trị.
Giải Toán 12 trang 12
Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 1\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 1}}{{x + 2}}\).
Bài làm
a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và .
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) và \({y_{CT}} = \frac{{ - 5}}{4}\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và .
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 5\) và \({y_{CT}} = 12\).
Vận dụng 2 trang 12 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\). Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?
Bài làm
Xét hàm số: \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(h'\left( t \right) = - 9,8t + 24,5;h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại \(t = \frac{5}{2}\),
Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là \(t = \frac{5}{2}\) giây
Giải Toán 12 trang 13
Bài 1.1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:
a) Đồ thị hàm số \((y = {x^3} - \frac{3}{2} {x^2})\) (H.1.11);
b) Đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{{{{( {{x^2} - 4} )}^2}}}\) (H.1.12).
Bài 1.2 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\)
b) \(y = - {x^3} + 2{x^2} - 5x + 3\)
Bài 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}\).
Bài 1.4 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} ;\)
b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\).
Bài 1.5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số \(N\left( t \right) = \frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\), trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N’(t) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right)\). Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.
Giải Toán 12 trang 14
Bài 1.6 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Đồ thị của đạo hàm bậc nhất \(y = f'\left( x \right)\) của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:
a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.
Bài 1.7 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\);
b) \(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\);
d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}}\).
Bài 1.8 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\).
a) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0. (Xem Hình 1.4)
Bài 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\) trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Bài tiếp theo: Toán 12 Kết nối tri thức bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
