Giải Toán 12 trang 74 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 74 Tập 1

Bài 2.34 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.35 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.36 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.39 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.40 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giải Toán 12 trang 74 Tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 trang 74.

Bài 2.34 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$ . Côsin của góc giữa hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bằng

A. $\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}$

B. $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$

D. $\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng: A

$\cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|}=\frac{-2-2-4}{2\sqrt{3}.\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Bài 2.35 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$ .

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Ta có: $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}$

$=\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}$

$=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$

Bài 2.36 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$ . Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$

⇔ $2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DN}$ (1)

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta có:

$3\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA})+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN})$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{AD}$

Bài 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.

a) Biểu diễn $\overrightarrow {AG}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AA'}$ .

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Do G là trọng tâm của tam giác BDA' nên ta có:

$\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=0$

⇔ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD}=0$

⇔ $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

⇔ $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

b) Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}$

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AC'} \text{ hay } \overrightarrow{AC'}=3\overrightarrow{AG}$

Vậy A, G, C' thẳng hàng.

Bài 2.38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; − 1; 3), B(1; 1; − 1) và C(− 1; 0; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Hướng dẫn giải:

a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

$G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)$

b) Ta có M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z)

$\overrightarrow{BM}=(-1;-1;z+1);\overrightarrow{AC}=(-3;1;-1)$

Do đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0$

⇔ 3 + (- 1) - (z + 1) = 0

⇔ z = 1

Vậy M(0; 0; 1)

Bài 2.39 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(− 1; 2; 3) và O'(1; − 2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(1;5;4)$ ⇒ B(1; 5; 4)

$\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OO'}=(3;1;3)$ ⇒ A'(3; 1; 3)

$\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO'}=(0;0;5)$ ⇒ C'(0; 0; 5)

$\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO'}=(2;3;6)$ ⇒ B'(2; 3; 6)

Bài 2.40 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$ .

a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ .

b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow u$ .

c) Tính $\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$ .

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{u}=\left(-4;-1;4\right)$

b) Độ dài vectơ $\overrightarrow u$ là: | $\overrightarrow u$ | = $\sqrt{33}$

Bài 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)$ và $C\left( {0; - 2;3} \right)$ .

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$ .

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Bài 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).