Giải Toán 12 trang 74 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài tập SGK Toán 12 trang 74 Bài tập cuối chương 2
Giải Toán 12 trang 74 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải các bài tập trong Bài tập cuối chương 2. Nội dung bám sát SGK Toán 12 Kết nối tri thức, trình bày rõ ràng giúp học sinh hệ thống kiến thức về vectơ, tọa độ và các phép toán trong không gian, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Giải bài 2.34 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho 
\(\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)\). Côsin của góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) bằng
| A. \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\) |
B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) |
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\) |
D. \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\) |
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng: A
Côsin của góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) bằng:
\(\cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|}=\frac{-2-2-4}{2\sqrt{3}.\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Giả bài 2.35 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Hướng dẫn giải:
Do ABCD là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\)
Ta có: \(\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}\)
\(=\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}\)
\(=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
Vậy \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\)
Giải bài 2.36 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}\). Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow {AD}\) và \(\overrightarrow {BC}\).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\)
⇔ \(2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DN}\) (1)
Ta có: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2), ta có:
\(3\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA})+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN})\)
Suy ra \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{AD}\)
Giải bài 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG}\) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}\) và \(\overrightarrow {AA'}\).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
a) Do G là trọng tâm của tam giác BDA' nên ta có:
\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=0\)
⇔ \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD}=0\)
⇔ \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\)
⇔ \(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)
b) Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}\)
Do đó \(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AC'} \text{ hay } \overrightarrow{AC'}=3\overrightarrow{AG}\)
Vậy A, G, C' thẳng hàng.
Giải bài 2.38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; − 1; 3), B(1; 1; − 1) và C(− 1; 0; 2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.
Hướng dẫn giải:
a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên: \(G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)\)
b) Ta có M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z)
\(\overrightarrow{BM}=(-1;-1;z+1);\overrightarrow{AC}=(-3;1;-1)\)
Do đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên \(\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\)
⇔ 3 + (- 1) - (z + 1) = 0 ⇔ z = 1
Vậy M(0; 0; 1)
Giải bài 2.39 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(− 1; 2; 3) và O'(1; − 2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(1;5;4)\) ⇒ B(1; 5; 4)
\(\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OO'}=(3;1;3)\) ⇒ A'(3; 1; 3)
\(\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO'}=(0;0;5)\) ⇒ C'(0; 0; 5)
\(\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OO'}=(2;3;6)\) ⇒ B'(2; 3; 6)
Giải bài 2.40 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)\).
a) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\).
b) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u\).
c) Tính \(\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(2\overrightarrow b = 2\left( {1;1; - 1} \right) = \left( {2;2; - 2} \right)\)
Khi đó:
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) = (-2 - 2; 1 - 2; 2 + 2) = (-4; -1; 4)
b) Độ dài vectơ \(\overrightarrow u\) là: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {33}\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {33}\)
c) Ta có:
\(\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 2.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 3}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}\)
Giải bài 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\).
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 4; - 1 - 2;2 + 1} \right) = \left( { - 3; - 3;3} \right)\)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3\)
b) Giả sử M(x; y; z)khi đó: \(\overrightarrow {CM} = \left( {x;y + 2;z - 3} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 nên \left\{ \begin{array}{l}
- 3 + x = 0\\
- 3 + y + 2 = 0\\
3 + z - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 1\\
z = 0
\end{array} \right.\)
Vậy M(3; 1; 0).
c) Giả sử N(x; y; 0).Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AN} = (x - 4;y - 2;1)\\
\overrightarrow {BN} = (x - 1;y + 1; - 2)
\end{array} \right.\)
Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ;\overrightarrow {BN}\) cùng phương tức là \(\overrightarrow {AN} = k.\overrightarrow {BN}\).
Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}
(x - 4) = k(x - 1)\\
y - 2 = k(y + 1)\\
1 = k\left( { - 2} \right)\;
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x - 4) = - \frac{1}{2}(x - 1)\\
y - 2 = - \frac{1}{2}(y + 1)\\
k = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 1\\
k = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm cần tìm là: N(3; 1; 0).
Bài 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.
a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ trên sao cho O là góc nhà phía trên trần nhà (điểm giao của hai bức tường và trần nhà) và trục Ox là giao của bức tường bên trái với trần nhà; trục Oy là điểm giao của bức tường bên phải với trần nhà; trục Oz là giao của hai bức tường; đơn vị trên mỗi trục đều là mét.
Tọa độ bóng đèn lúc đầu là A (1,2; 1,6; 0,5).
Tọa độ bóng đèn lúc sau là B (1,5; 1,5; 0,4).
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0,3; - 0,1; - 0,1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {0,{3^2} + {{\left( { - 0,1} \right)}^2} + {{\left( { - 0,1} \right)}^2}} \approx 0,3\)
Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu của bóng đèn là 0,3 m.
-----------------------------------------------
Trang tiếp theo trong bài học:
Với Giải Toán 12 trang 74 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể kiểm tra kết quả và đối chiếu phương pháp giải các bài tập cuối chương 2. Qua đó, các em củng cố kiến thức tọa độ không gian, nâng cao kỹ năng vận dụng và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra Toán 12.
