Giải Toán 12 trang 19 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài tập SGK Toán 12 trang 19 Bài 2
Giải Toán 12 trang 19 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết các bài tập trong Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Nội dung bám sát SGK Toán 12 Kết nối tri thức, giúp học sinh nắm được phương pháp tìm GTLN, GTNN và vận dụng hiệu quả khi làm bài tập.
Giải bài 1.10 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = -x2 + 4x + 3; b) y = x3 - 2x2 + 1 trên [0; +∞);
c) 
\(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) trên (1; +∞); d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}}\).
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số: y = - x2 + 4x + 3
Tập xác định của hàm số là: R
Ta có: y' = - 2x + 4; y' = 0 ⇔ x = 2
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta được: \(\underset{\mathbb{R}}{\max} y = 7\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số: y = x3 - 2x2 + 1 trên [0; + ∞)
Ta có: y' = 3x2 - 4x = x(3x - 4)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = \(\frac{4}{3}\) (vì x ∈ [0; + ∞))
Lập bảng biến thiên của hàm số trên [0; + ∞):
Từ bảng biến thiên, ta được: \(\underset{[0; + ∞)}{\min} y = - \frac{5}{27}\), hàm số không có giá trị lớn nhất.
c) Xét hàm số: \(y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}\) trên (1; + ∞)
Ta có: \(y'=\frac{x^2-2x-1}{\left(x-1\right)^2}\)
y' = 0 ⇔ \(x=\sqrt{2}+1\) (vì x ∈ (1; + ∞))
Lập bảng biến thiên của hàm số trên (1; + ∞):
Từ bảng biến thiên, ta được: \(\underset{(1; + ∞)}{\min} y = 2\sqrt{2}\), hàm số không có giá trị lớn nhất.
d) Xét hàm số:\(y=\sqrt{4x-2x^2}\)
TXĐ: [0; 2]
Ta có: \(y'=\frac{2-2x}{\sqrt{4x-2x^2}}\)
y' = 0 ⇔ x = 1
y(0) = 0; y(1) = \(\sqrt{2}\); y(2) = 0
Vậy \(\underset{[0;2]}{\max} y = \sqrt{2} ; \ \underset{[0;2]}{\min} y = 0\).
Giải bài 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 3 b) y = xe−x
c) y = xlnx d) \(y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}\)
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số: y = x4 - 2x2 + 3
Tập xác định của hàm số là: R
Ta có: y' = 4x3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)
y' = 0 ⇔ \(\left [ \begin{array}{l} x= - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta được: \(\underset{\mathbb{R}}{\max} y = 3,\ \underset{\mathbb{R}}{\min} y = 2\).
b) Xét hàm số: y = xe- x
Tập xác định của hàm số là: R
Ta có: \(y'=\frac{1-x}{e^x}\); y' = 0 ⇔ x = 1
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta được: \(\underset{R}{\max} y = \frac{1}{e}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
c) Xét hàm số: \(y=x \ln x\)
Tập xác định của hàm số là: (0; + ∞)
Ta có: y' = ln x + 1; y' = 0 ⇔ \(x=\frac{1}{e}\)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên (0; + ∞):
Từ bảng biến thiên, ta được: \(\underset{R}{\min} y = -\frac{1}{e}\), hàm số không có giá trị lớn nhất.
d) Xét hàm số: \(y=\sqrt{x-1} +\sqrt{3-x}\)
Tập xác định của hàm số là: [1; 3]
Ta có: \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\)
y' = 0 ⇔ x = 2
\(y\left(1\right)=\sqrt{2};\ y\left(2\right)=2;\ y\left(3\right)=\sqrt{2}\)
Từ bảng biến thiên, ta được: \(\underset{[1;3]}{\max} y = 2, \ \underset{[1;3]}{\min} y = \sqrt{2}\).
Giải bài 1.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 2x3 - 6x + 3 trên đoạn [-1; 2] b) y = x4 - 3x2 + 2 trên đoạn [0; 3].
c) y = x - sin2x trên đoạn [0; π]. d) y = (x2 - x).ex trên đoạn [0; 1].
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số y = 2x3 – 6x + 3
Ta có: y' = 6x2 – 6 = 6(x – 1)(x + 1)
y' = 0 ⇔ \(\left [ \begin{array}{l} x= - 1 \\ x = 1 \end{array} \right.\)
y(– 1) = 7; y(1) = – 1; y(2) = 7
Do đó: \(\underset{[- 1; 2]}{\max} y = 7,\ \underset{[- 1; 2]}{\min} y = -1\).
b) Xét hàm số y = x4 – 3x2 + 2
Ta có: y' = 4x3 – 6x = 2x(x2 – 3)
y' = 0 ⇔ \(\left [ \begin{array}{l} x= 0 \\ x = \frac{\sqrt{6} }{ 2} \end{array} \right.\)
\(y\left(0\right)=2;\ y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4};\ y\left(3\right)=56\)
Do đó: \(\underset{[0 ; 3]}{\max} y = 56,\ \underset{[0; 3]}{\min} y = -\frac{1}{4}\).
c) Xét hàm số y = x – sin2x
Ta có: y' = 1 – 2cos2x
y' = 0 ⇔ \(x=\frac{\pi}{6}\) (vì x ∈ [0; π])
\(y\left(0\right)=0; \ y\left(\pi\right)=\pi\)
\(y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi-3\sqrt{3}}{6}; \ y\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi+3\sqrt{3}}{6};\)
Do đó: \(\underset{[0 ; π]}{\max} y = \frac{5\pi+3\sqrt{3}}{6}\)
\(\underset{[0; π]}{\min} y = \frac{π-3\sqrt{3} }{6}\)
d) Xét hàm số y = (x2 – x)ex
Ta có: y' = ex(x2 + x – 1)
y' = 0 ⇔ \(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(y\left(0\right)=0 ;\ y\left(1\right)=0\)
\(y\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
Do đó: \(\underset{[0 ; 1]}{\max} y =0\)
\(\underset{[0; 1]}{\min} y = \left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)
Giải bài 1.13 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 24 : 2 = 12 (cm)
Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 12).
Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 12 – x (cm).
Diện tích hình chữ nhật là x(12 – x) = 12x – x2 (cm2).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 12x – x2 (0 < x < 12).
Ta có: y' = 12 – 2x; y' = 0 ⇔ x = 6.
Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên (0; 12):
Từ bảng biến thiên, ta có \(\underset{(0;12)}{\max} S(x) = 36\)
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 36 cm2 (tức là khi chữ nhật trở thành hình vuông)
Giải bài 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108cm2 như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Diện tích bề mặt là: 4xh + x2 = 108 (cm2)
⇒ \(h=\frac{108-x^2}{4x}\)
Gọi V(x) là hàm số biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật, ta có:
\(V(x)=S_{đáy}.h=\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=\frac{-x^3+108x}{4}\), x > 0
Ta có: \(V'\left(x\right)=-\frac{3x^2}{4}+27\); V'(x) = 0 ⇔ x = 6 (do x > 0)
Lập bảng biến thiên của hàm số V(x) trên (0; + ∞):
Từ bảng biến thiên, ta có \(\underset{(0;+ \infty )}{\max}V(x) = 1728\)
Vậy để hình hộp có thể tích lớn nhất thì đáy có cạnh bằng 6 và chiều cao h = 3 cm.
Giải bài 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm3. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm2, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm2. Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi R, h lần lượt là bán kính hình tròn đáy và chiều cao của hình trụ (R, h > 0).
Khi đó ta có V = πR2h = 1000 ⇔ \(h=\frac{1\ 000}{\pi R^2}\)
Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là 2πR2 (cm2).
Chi phí vật liệu sản xuất mặt trên và mặt dưới là 1,2. 2πR2 = 2,4πR2 (nghìn đồng).
Diện tích mặt bên của bình là 2πRh = \(\frac{2000}{R}\)(cm2).
Chi phí vật liệu sản xuất mặt bên là 0,75. 2πRh = 1,5πrh (nghìn đồng).
Tổng chi phí sử dụng là: 2,4πr2 + 1,5πRh \(=2,4\pi R^2+\frac{1500}{R}\)(nghìn đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2,4\pi R^2+\frac{1500}{R}\), R > 0.
Ta có:
\(C'\left(R\right)=4,8\pi R-\frac{1500}{R^2}\); C'(x) = 0 ⇔ \(R=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi}}\) (do R > 0)
Lập bảng biến thiên của hàm số C'(R) trên (0; + ∞):
Vậy để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy \(R=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi}}\)
-----------------------------------------------
Trang tiếp theo:
- Giải Toán 12 trang 15 toán 12 tập 1 KNTT
- Giải Toán 12 trang 17 toán 12 tập 1 KNTT
- Giải Toán 12 trang 18 toán 12 tập 1 KNTT
Với phần Giải Toán 12 trang 19 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể nhanh chóng kiểm tra đáp án và cách giải các bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hãy kết hợp lời giải với kiến thức trong SGK Toán 12 Bài 2 để củng cố kỹ năng và học tốt môn Toán 12.
