Giải Toán 12 trang 59 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài tập SGK Toán 12 trang 59 Bài 6
Giải Toán 12 trang 59 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 6: Vectơ trong không gian, giúp học sinh nắm chắc cách xác định, biểu diễn và thực hiện các phép toán với vectơ trong không gian. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, hỗ trợ học sinh học tốt Toán 12 KNTT và chủ động ôn tập kiến thức quan trọng.
Giải bài 2.9 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.
Hướng dẫn giải:
Giả sử ba lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ 
\(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\) với O là đầu chung của ba sợi dây.
Khi các ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
Vẽ điểm D sao cho OADB là hình bình hành \(\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}\)
Khi đó \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}\), hay O là trung điểm của CD.
Do đó O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD)
Vậy ba sợi dây cùng nằm trong một mặt phẳng
Giải bài 2.10 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{C'C}\) b) \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{BC}\) c) \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{B'A'}\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên AA' = C'C và AA' // C'C
Hai vectơ \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{C'C}\) có cùng độ dài và ngược hướng nên \((\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{C'C})=180^{\circ}\)
Vậy \(\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{C'C}=|\overrightarrow{AA'}|\cdot|\overrightarrow{C'C}|.\cos(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{C'C})\)
\(=2\cdot 2.\cos 180^{\circ} =-4\)
b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC và AD // BC
Hai vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) có cùng độ dài và cùng hướng nên \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)
Do đó \((\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AD})=\widehat{A'AD}=90^{\circ}\)
Vậy \(\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AA'}|\cdot|\overrightarrow{BC}|.\cos(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BC})\)\(=|\overrightarrow{AA'}|\cdot|\overrightarrow{AD}|.\cos(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AD})\)\(=2\cdot 1.\cos 90^{\circ} =0\)
c) Vì ABB'A' là hình chữ nhật nên B'A' = BA và B'A' // BA
Hai vectơ \(\overrightarrow{B'A'}\) và \(\overrightarrow{BA}\) có cùng độ dài và cùng hướng nên \(\overrightarrow{B'A'}=\overrightarrow{BA}\)
Do đó \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'A'})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})=135^{\circ}\)
Vậy
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'A'}=|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{B'A'}|.\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'A'})\)\(=|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{BA}|.\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})\)\(=\sqrt{2} \cdot 1.\cos 135^{\circ} =-1\)
Giải bài 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°, hãy tính:
a) \(\vec{a}\) . \(\vec{b}\) b) \((\vec{a} +3\vec{b}). (\vec{a}-2\vec{b})\) c) \((\vec{a} +\vec{b} )^{2}\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\vec{a} .\vec{b}=|\vec{a}| .|\vec{b}|.\cos(\vec{a},\vec{b})\)\(=1 .1.\cos45^{\circ} = \frac{\sqrt{2} }{2}\)
b) Ta có:
\((\vec{a} +3\vec{b}). (\vec{a}-2\vec{b}) = \vec{a}^2+\vec{a}\vec{b}-6\vec{b}^2\)
\(= |\vec{a}|^2+|\vec{a}||\vec{b}|.\cos(\vec{a},\vec{b})-6|\vec{b}|^2\)
\(= 1^2+\frac{\sqrt{2} }{2} -6.1^2\)\(=\frac{-10+\sqrt{2}}{2}\)
c) Ta có:
\((\vec{a} +\vec{b} )^{2} =\vec{a}^2+2\vec{a}.\vec{b}+\vec{b}^2\)\(=1^2+2.\frac{\sqrt{2} }{2} +1^2\)\(=2+\sqrt{2}\)
Giải bài 2.12 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}\)
b) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Ta có:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CD}\)\(=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}\)
\(=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+(-\overrightarrow{BC}).(-\overrightarrow{DC})\)\(=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}\)
b) Ta có:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC})\)
\(=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})+\overrightarrow{BC}.(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD})\)
\(=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}\)\(=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}) =0\)
-----------------------------------------------
Giải các trang thuộc phạm vi bài học:
- Giải Toán 12 trang 45 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 46 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 47 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 48 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 49 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 50 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 51 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 52 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 53 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 54 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 56 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 57 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 58 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 59 toán 12 KNTT tập 1
Trên đây là lời giải Toán 12 trang 59 tập 1 Kết nối tri thức thuộc Bài 6: Vectơ trong không gian với cách trình bày ngắn gọn, dễ theo dõi. Hy vọng nội dung giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ, vận dụng đúng các quy tắc và hoàn thành tốt bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức. Các em có thể tiếp tục luyện thêm bài tập cùng dạng để nâng cao kỹ năng giải Toán 12 và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
