Giải Toán 12 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài tập SGK Toán 12 trang 57 Bài 6
Giải Toán 12 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 6: Vectơ trong không gian, giúp học sinh nắm chắc cách xác định, biểu diễn và thực hiện các phép toán với vectơ trong không gian. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, hỗ trợ học sinh học tốt Toán 12 KNTT và chủ động ôn tập kiến thức quan trọng.
Giải luyện tập 10 trang 57 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng 
\(\overrightarrow{AS} .\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{AS} .\overrightarrow{CD}\).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm của đáy ABCD và E là trung điểm của SC.
Khi đó OE là đường trung bình của tam giác SAC
⇒ OE // AS và \(OE=\frac{1}{2}AS\)
Hai vectơ \(\overrightarrow{OE}\) và \(\overrightarrow{AS}\) cùng hướng nên \(\overrightarrow{AS} = 2\overrightarrow{OE}\)
Hai vectơ \(\overrightarrow{OD}\) và \(\overrightarrow{BD}\) cùng hướng nên \(\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{OD}\)
Ta có: S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD)
⇒ SO ⊥ BD hay SO ⊥ OD (1)
ABCD là hình vuông
⇒ BD ⊥ AC hay OD ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD ⊥ (SAC) ⇒ OD ⊥ OE
Do đó
\(\overrightarrow{AS} .\overrightarrow{BD} =2\overrightarrow{OE} .2\overrightarrow{OD}\)\(=4|\overrightarrow{OE}|\cdot |\overrightarrow{OD}|\cdot \cos \widehat{EOD}\)\(=4|\overrightarrow{OE}|\cdot |\overrightarrow{OD}|\cdot \cos 90^{\circ} =0\)
\(\overrightarrow{AS} .\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AS} .(-\overrightarrow{AB})\)\(=-|\overrightarrow{AS}| .|\overrightarrow{AB}|.\cos \widehat{SAB}\)\(=-a .a.\cos 60^{\circ} =-\frac{a^2}{ 2}\)
Giải luyện tập 11 trang 57 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{A'C} .\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{0}\)
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Cách 1:
Ta có B'D' ⊥ A'C' (A'B'C'D' là hình vuông)
B'D' ⊥ CC'
⇒ B'D' ⊥ (A'CC') ⇒ B'D' ⊥ AC'
Do đó \(\overrightarrow{A'C} .\overrightarrow{B'D'}= \overrightarrow{0}\).
Cách 2:
Ta có:
\(\;\overrightarrow {A{\rm{ }}\prime {\rm{ }}C} {\rm{ }}{\rm{. }}\overrightarrow {B{\rm{ }}\prime {\rm{ }}D{\rm{ }}\prime } {\rm{ }} = \left( {\overrightarrow {A{\rm{ }}\prime {\rm{ }}C{\rm{ }}\prime } {\rm{ }} + \overrightarrow {C{\rm{ }}\prime {\rm{ }}C} {\rm{ }}} \right).\overrightarrow {B{\rm{ }}\prime {\rm{ }}D{\rm{ }}\prime {\rm{ }}}\)\(= \overrightarrow {A{\rm{ }}\prime {\rm{ }}C{\rm{ }}\prime } {\rm{ }}{\rm{.}}\overrightarrow {B{\rm{ }}\prime {\rm{ }}D{\rm{ }}\prime {\rm{ }}} + \overrightarrow {C{\rm{ }}\prime {\rm{ }}C} .\overrightarrow {B{\rm{ }}\prime {\rm{ }}D{\rm{ }}\prime {\rm{ }}} {\rm{ }}\)
Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C'⊥B'D' . Do đó: \(\overrightarrow {A\prime C\prime } .\overrightarrow {B\prime D\prime } = 0\) (1)
Lại có: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên C C ′ ⊥ ( A ′ B ′ C ′ D ′ )
⇒ C C ′ ⊥ B ′ D ′ ⇒ \(\overrightarrow {C{\rm{ }}\prime C} .\overrightarrow {B{\rm{ }}\prime {\rm{ }}D{\rm{ }}\prime } = 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\;\overrightarrow {A\prime C} .\overrightarrow {B\prime D\prime } = \overrightarrow {A\prime C\prime } .\overrightarrow {B\prime D\prime } + \overrightarrow {C\prime C} .\overrightarrow {B\prime D\prime } = 0 + 0 = 0\)
Vậy \(\;\overrightarrow {A\prime C} .\overrightarrow {B\prime D\prime } = 0\)
Giải vận dụng 4 trang 57 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Như đã biết, nếu có một lực \(\overrightarrow{F}\) tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức \(A = \overrightarrow{F} . \overrightarrow{MN}\), trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực \(\overrightarrow{F}\) có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.
Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Hướng dẫn giải:
Ta có \(A = \overrightarrow{F} . \overrightarrow{MN} = |\overrightarrow{F}| . |\overrightarrow{MN} | .\cos (\overrightarrow{F}, \overrightarrow{MN})\)
Do đó, để lực F có độ lớn không đổi và quãng đường MN không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi \(\cos (\overrightarrow{F}, \overrightarrow{MN}) =1 \Leftrightarrow (\overrightarrow{F}, \overrightarrow{MN}) = 0^{\circ}\).
Tức là khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.
Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng hướng với chuyển động của vật.
-----------------------------------------------
Giải các trang thuộc phạm vi bài học:
- Giải Toán 12 trang 45 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 46 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 47 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 48 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 49 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 50 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 51 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 52 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 53 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 54 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 56 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 57 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 58 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 59 toán 12 KNTT tập 1
Trên đây là lời giải Toán 12 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức thuộc Bài 6: Vectơ trong không gian với cách trình bày ngắn gọn, dễ theo dõi. Hy vọng nội dung giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ, vận dụng đúng các quy tắc và hoàn thành tốt bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức. Các em có thể tiếp tục luyện thêm bài tập cùng dạng để nâng cao kỹ năng giải Toán 12 và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
