Giải Toán 12 trang 43 tập 1 Cánh diều
Giải Toán 12 trang 43 Cánh diều Tập 1
Giải Toán 12 trang 43 Tập 1 hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 1 trang 43.
Bài 3 trang 43 SGK Toán 12 tập 1
Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số 
\(y = \frac{1-x}{x+1}\)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng: B
\(y'=-\frac{2}{\left(x+1\right)^2}>0\) với mọi x ≠ − 1
Ta có: \(\lim_{x \rightarrow -1^-} y = -\infty ;\ \lim_{x \rightarrow -1^+} y = +\infty\)
Do đó, đường thẳng x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = -1 ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = -1\)
Do đó, đường thẳng y = − 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Bài 4 trang 43 SGK Toán 12 tập 1
Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số:
|
A. B. C. D. |
 |
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng: A
Đồ thị hàm số của hình 30 có TCĐ là đường thẳng x = − 1 và TCX là đt y = − x − 1
A. \(y=\frac{x^2+2x+2}{-x-1} =-x-1+\frac{1}{-x-1}\)
B. \(y=\frac{x^2+2x+2}{ x+1} =x+1+\frac{1}{ x+1}\) => Loại
C. \(y=\frac{x^2-2x+2}{x-1} =x-1+\frac{1}{x-1}\) => Loại
D. \(y=\frac{x^2-2x+2}{x+1} =x-3+\frac{5}{x+1}\) => Loại
Bài 5 trang 43 SGK Toán 12 tập 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2x3 – 3x2 + 1
b) y = – x3 + 3x2 – 1
c) y = (x – 2)3 + 4
d) y = – x3 + 3x2 – 3x + 2
e) \(y=\frac{1}{3} x^3 + x^2 + 2x + 1\)
g) y = – x3 – 3x
Hướng dẫn giải:
a) y = 2x3 – 3x2 + 1
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = +\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = -\infty\)
- Bảng biến thiên:
y' = 6x2 – 6x với mọi x ∈ \(\mathbb{R}\).
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1), đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(( 1;+\infty)\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1)
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải phương trình 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ta được x = 1 hoặc \(x=-\frac{1}{2}\)
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (1; 0) và \(\left(-\frac{1}{2};0\right)\)
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; – 4), (2; 5)
Vậy đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2 + 1 được cho ở hình bên dưới.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
b) y = – x3 + 3x2 – 1
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = -\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = +\infty\)
- Bảng biến thiên:
y' = – 3x2 + 6x với mọi x ∈ \(\mathbb{R}\).
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(( 2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = – 1.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1)
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải phương trình – x3 + 3x2 – 1 = 0.
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 3), (2; 3), (3; – 1)
Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 1 được cho ở hình bên dưới.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).
c) y = (x – 2)3 + 4
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = +\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = -\infty\)
- Bảng biến thiên:
y' = 3(x – 2)2 với mọi x ∈ \(\mathbb{R}\).
y' = 0 ⇔ x = 2
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 4)
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải phương trình (x – 2)3 + 4 = 0 ta được \(x=2-\sqrt[3]{4}\)
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left(2-\sqrt[3]{4};0\right)\)
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 3), (3; 5)
Vậy đồ thị hàm số y = (x – 2)3 + 4 được cho ở hình bên dưới.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(2; 4).
d) y = – x3 + 3x2 – 3x + 2
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = -\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = +\infty\)
- Bảng biến thiên:
y' = – 3x2 + 6x - 3 với mọi x ∈ \(\mathbb{R}\).
y' = 0 ⇔ x = 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2)
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (2; 0)
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 9), (3; – 7)
Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 3x + 2 được cho ở hình bên dưới.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).
e) \(\bf y=\frac{1}{3} x^3 + x^2 + 2x + 1\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = +\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = -\infty\)
- Bảng biến thiên:
y' = x2 + 2x + 2 > 0 với mọi x ∈ \(\mathbb{R}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1)
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (– 0,6778; 0)
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(-1;-\frac{1}{3}\right),\ \left(1;\frac{13}{3}\right)\)
Vậy đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3} x^3 + x^2 + 2x + 1\) được cho ở hình bên dưới.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left(-1;-\frac{1}{3}\right)\).
g) y = – x3 – 3x
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = -\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = +\infty\)
- Bảng biến thiên:
y' = – 3x2 – 3 < 0 với mọi x ∈ \(\mathbb{R}\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành: (0; 0)
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 4), (1; – 4)
Vậy đồ thị hàm số y = – x3 – 3x được cho ở hình bên dưới.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm O(0; 0).
Bài 6 trang 43 SGK Toán 12 tập 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
b) \(y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\)
c) \(y=\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)
d) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)
e) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\)
g) \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\)
Hướng dẫn giải:
a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
\(\lim_{x \rightarrow -1^-} y = +\infty ;\ \lim_{x \rightarrow -1^+} y = -\infty\). Do đó, đường thẳng x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = 1 ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = 1\). Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
\(y'=\frac{2}{\left(x+1\right)^2}>0\) với mọi x ≠ − 1.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; − 1)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (− 2; 3), (− 3; 2)
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) được cho ở hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, đồ thị đó nhận tâm giao điểm I(− 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
b) \(y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
\(\lim_{x\rightarrow-1^-}y=-\infty;\lim_{x\rightarrow-1^+}y=+\infty\). Do đó, đường thẳng x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}y=-2;\lim_{x\rightarrow-\infty}y=-2\). Do đó, đường thẳng y = − 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
\(y^{\prime}=\frac{-2}{\left(x+1\right)^2}<0\) với mọi x ≠ − 1.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
Đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (− 3; − 3), (− 2; − 4)
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\) được cho ở hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, đồ thị đó nhận tâm giao điểm I(− 2; − 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
c) \(y=\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{ 1\}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y = x- 2+\frac{4 }{x-1}\)
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = +\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = -\infty\)
\(\lim_{x \rightarrow 1^+} y = +\infty ;\ \lim_{x \rightarrow 1^-} y = -\infty\). Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} [y-(x-2)] = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4 }{x-1} = 0\), \(\lim_{x \rightarrow -\infty} [y-(x-2)] = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{4 }{x-1} = 0\). Do đó đường thẳng y = x − 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
\(y'= 1-\frac{ 4}{\left(x-1\right)^2 }\); y' = 0 ⇔ x = − 1 hoặc x = 3.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\)
Hàm số đạt cực đại tại x = − 1, yCĐ = − 5; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = 3
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; − 6)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (5; 4), (2; 4)
Vậy đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\) được cho ở hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, đồ thị đó nhận tâm giao điểm I(1; - 3) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
d) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y=-x-\frac{4}{x-2}\)
\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = -\infty ; \ \lim_{x \rightarrow -\infty} y = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow2^+}y=-\infty;\lim_{x\rightarrow2^-}y=+\infty\). Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-4}{x-2}=0\), \(\lim_{x\rightarrow-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-4}{x-2}=0\). Do đó đường thẳng y = − x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
\(y'=-1+\frac{4}{\left(x-2\right)^2}\); y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.
Hàm số nghich biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \((4;+\infty)\); đồng biến trên mỗi khoảng \((0;2)\) và \((2;4)\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 4, yCĐ = − 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 3), (- 2; 3)
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\) được cho ở hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, đồ thị đó nhận tâm giao điểm I(2; - 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
e) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y=2x-1-\frac{3}{x+2}\)
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow-2^+}y=-\infty;\lim_{x\rightarrow-2^-}y=+\infty\). Do đó, đường thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}[y-(2x-1)]=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-3}{x+2}=0\), \(\lim_{x\rightarrow-\infty}[y-(2x-1)]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-3}{x+2}=0\). Do đó đường thẳng y = 2x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
\(y'=2+\frac{3}{\left(x+2\right)^2}>0\) với mọi x ≠ - 2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;-2)\) và \((-2;+\infty )\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; - 2,5)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (- 2,5; 0) và (1; 0)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (- 3; - 4), (2; 2)
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\) được cho ở hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, đồ thị đó nhận tâm giao điểm I(- 2; - 5) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
g) \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y=-x-\frac{3}{-x+2}\)
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow2^+}y=+\infty;\lim_{x\rightarrow2^-}y=-\infty\). Do đó, đường thẳng x =2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}[y-(-\times)]=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-3}{-x+2}=0\), \(\lim_{x\rightarrow-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-3}{-x+2}=0\). Do đó đường thẳng y = - x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
\(y'=-1-\frac{3}{\left(-x+2\right)^2}<0\) với mọi x ≠ 2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; - 1,5)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (- 1; 0) và (3; 0)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; - 4), (5; - 4)
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\) được cho ở hình bên dưới.
Quan sát hình vẽ, đồ thị đó nhận tâm giao điểm I(2; - 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.
-----------------------------------------------
---> Xem thêm: Giải Toán 12 trang 44 tập 1 Cánh diều
Lời giải Toán 12 trang 43 Tập 1 Cánh diều với các câu hỏi nằm trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, được VnDoc biên soạn và đăng tải!
