Giải Toán 12 trang 32 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài tập SGK Toán 12 trang 32 Bài 4
Giải Toán 12 trang 32 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm chắc cách xét tính đơn điệu, tìm cực trị và lập bảng biến thiên để vẽ đồ thị hàm số chính xác. Đây cũng là tài liệu hữu ích để học sinh Toán 12 KNTT tự học và ôn tập hiệu quả.
Giải luyện tập 3 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
\(y = \frac{-x^{2}+3x-1 }{x-2}\)
Hướng dẫn giải:
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 2 \right \}\)
2. Sự biến thiên: Viết \(y= -x+1+\frac{1}{x-2}\)
Ta có: \(y'=-1-\frac{1}{\left(x-2\right)^2}<0\) với mọi x ≠ 2.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ∞; 2) và (2; + ∞).
Hàm số không có cực trị.
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{-x^{2}+3x-1 }{x-2} =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{-x +3 -\frac{ 1}{x } }{1-\frac{2}{x } }= + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{-x^{2}+3x-1 }{x-2} =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{-x +3 -\frac{ 1}{x } }{1-\frac{2}{x } }= - \infty\)
Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 2^-} y = \lim_{x\rightarrow 2^-} \left ( -x+1+\frac{1}{x-2} \right )= - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 2^+} y = \lim_{x\rightarrow 2^+} \left ( -x+1+\frac{1}{x-2} \right )= + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [y -(-x+1)] = \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \frac{1}{x-2} \right )= 0\)
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} [y -(-x+1)] = \lim_{x\rightarrow - \infty} \left ( \frac{1}{x-2} \right )= 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = - x + 1
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0;\frac{1}{2}\right)\).
Ta có: \(y=0 \Leftrightarrow \frac{-x^2+3x-1}{x-2}=0\)
\(\Leftrightarrow x= \frac{3+\sqrt{5} }{ 2}\) hoặc \(x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right)\) và \(\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Giải bài 1.21 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = − x3 + 3x + 1;
b) y = x3 + 3x2 – x – 1.
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số y = − x3 + 3x + 1
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
- Ta có: y' = − 3x2 + 3. Vậy y' = 0 khi x = − 1 hoặc x = 1.
Trên khoảng (− 1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (− ∞; − 1) và (1; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = − 1, giá trị cực tiểu yCT = − 1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = 3.
Giới hạn tại vô cực:
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^3} \right ) = + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3\left ( − 1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^3} \right ) = - \infty\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 1).
Điểm (− 1; − 1) thuộc đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).
b) y = x3 + 3x2 – x – 1.
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: y' = 3x2 + 6x − 1. Vậy y' = 0 khi \(x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\).
Trên khoảng \(\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)\), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng \(\left ( - \infty; \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3} \right )\) và \(\left ( \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}; + \infty \right )\), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\), giá trị cực đại \(y_{CĐ}=\frac{18+16\sqrt{3}}{9}\).
Giới hạn tại vô cực:
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( 1 + \frac{3}{x} -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} \right ) = - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} x^3\left ( 1 + \frac{3}{x} -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} \right ) =+ \infty\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 1).
Điểm (1; 2) thuộc đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (- 1; 2).
Giải bài 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{2x+x}{x+1}\); b) \(y = \frac{x+3}{1-x}\).
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số \(y = \frac{2x+1}{x+1}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=\frac{1}{\left(x+1\right)^2} >0\) với mọi x ≠ - 1.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; - 1) và (- 1; + ∞).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} \frac{2x+1}{x+1} = + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^+} \frac{2x+1}{x+1} = -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x+1}{x+1} = 2\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x+1}{x+1} = 2\)
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 1).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(-\frac{1}{2};0\right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
b) Xét hàm số \(y = \frac{x+3}{1-x}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=\frac{4}{\left(1 - x\right)^2} >0\) với mọi x ≠ 1.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; 1) và (1; + ∞).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} \frac{x+3}{1-x} = + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^+} \frac{x+3}{1-x} = -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{x+3}{1-x} = -1\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+3}{1-x} = -1\)
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = - 1.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 3).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (- 3; 0).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; - 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Giải bài 1.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{2x^{2} -x+4}{x-1}\) b) \(y = \frac{x^{2} +2x+1}{x+3}\)
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số \(y = \frac{2x^{2} -x+4}{x-1}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên: Viết \(y= 2x+1+\frac{5}{x-1}\)
Ta có: \(y'=2-\frac{5}{\left(x-1\right)^2} = \frac{2x^2-4x+3}{\left(x-1\right)^2}\)
Vậy \(y'=0 \Leftrightarrow \frac{2x^2-4x+3}{\left(x-1\right)^2} =0\)\(\Leftrightarrow x=\frac{2+\sqrt{10} }{ 2}\) hoặc \(x=\frac{2-\sqrt{10} }{ 2}\)
Trên các khoảng \(\left(-\infty;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)\) và \(\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}; +\infty \right),\)y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.
Trên các khoảng \(\left( \frac{2-\sqrt{10}}{2} ; 1\right)\) và \(\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2} \right) ,\) y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{2-\sqrt{10} }{ 2}\) với \(y_{CĐ}=3-2\sqrt{10}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{2+\sqrt{10} }{ 2}\) với \(y_{CT}=3 + 2\sqrt{10}\)
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x^{2} -x+4}{x-1} =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x -1 +\frac{ 4}{x } }{1-\frac{1}{x } }= - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2} -x+4}{x-1} =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x -1 +\frac{ 4}{x } }{1-\frac{1}{x } }= + \infty\)
Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} y = \lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( 2x+1+\frac{5}{x-1} \right )= - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} y = \lim_{x\rightarrow 1^+} \left ( 2x+1+\frac{5}{x-1} \right )= + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [y -(2x+1)] = \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \frac{5}{x-1} \right )= 0\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty} [y -(2x+1)] = \lim_{x\rightarrow - \infty} \left ( \frac{5}{x-1} \right )= 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x + 1
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 4).
Điểm (2; 10) thuộc đồ thị của hàm số.
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
b) Xét hàm số \(y = \frac{x^{2} +2x+1}{x+3}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ -3 \right \}\)
2. Sự biến thiên: Viết \(y= x-1+\frac{4}{x+3}\)
- Ta có: \(y'=1-\frac{4}{\left(x+3\right)^2} = \frac{x^2+6x+5}{\left(x+3\right)^2}\)
Vậy y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = – 5
- Trên các khoảng \(\left(-\infty;-5\right)\) và \(\left(-1; +\infty \right),\)y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.
Trên các khoảng \(\left( -5;-3\right)\) và \(\left(-3;-1 \right)\), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
- Hàm số đạt cực đại tại x = – 5 với yCĐ = – 8
Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 với yCT = 0
- \(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{x^{2} +2x+1}{x+3} = - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{x^{2} +2x+1}{x+3} = + \infty\)
- Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow -3^-} y = \lim_{x\rightarrow -3^-} \left ( x-1+\frac{4}{x+3} \right )= - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow -3^+} y = \lim_{x\rightarrow -3^+} \left ( x-1+\frac{4}{x+3} \right )= + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [y -(x-1)] = \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \frac{4}{x+3} \right )= 0\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty} [y -(x-1)] = \lim_{x\rightarrow - \infty} \left ( \frac{4}{x+3} \right )= 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = – 3 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; \(\frac{1}{3}\)).
Điểm (– 4; – 9) thuộc đồ thị của hàm số.
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 3; – 4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Giải bài 1.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.
a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).
b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ³ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.
c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.
Hướng dẫn giải:
a) Khối lượng KOH trong cốc ban đầu là: 30 . 100 = 3000 (mg)
Khối lượng KOH trong bình là: 8x (mg)
Khối lượng KOH trong cốc sau khi trộn là: 8x + 3000 (mg)
-> Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là:
\(C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}\) (mg/ml)
b) Xét hàm số \(C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}\) với x ≥ 0.
1. Tập xác định của hàm số: \([0;+ \infty)\)
2. Sự biến thiên: Viết \(C(x)= 8+\frac{2760}{x+30}\)
Ta có: \(y'= -\frac{2760}{\left(x+30\right)^2} <0\) với mọi x ≥ 0.
Hàm số nghịch biến trên \([0;+ \infty)\)
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{8x+3000}{x+30} =8\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{8x+3000}{x+30} =8\)
\(\lim_{x\rightarrow -30^-} y = \lim_{x\rightarrow -30^-} \frac{8x+3000}{x+30}= - \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow -30^+} y = \lim_{x\rightarrow -30^+} \frac{8x+3000}{x+30}= +\infty\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 30 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 8.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị là phần bên phải trục Oy:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 100).
Điểm (200; 20) thuộc đồ thị của hàm số.
c) Do y' < 0 với mọi x ≥ 0 và \(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =8\) nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml
Giải bài 1.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R1 và R2 thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức \(R = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu x (Ω) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số \(y=R\left(x\right)=\frac{8x }{x+8}\) với x > 0.
1. Tập xác định của hàm số: \((0;+ \infty)\)
2. Sự biến thiên: Viết \(R(x)= 8-\frac{64}{x+8}\)
Ta có: \(R'(x)= \frac{64}{\left(x+8\right)^2} >0\) với mọi x > 0.
Hàm số đồng biến trên \((0;+ \infty)\)
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{8x }{x+8} =8\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{8x }{x+8} =8\)
\(\lim_{x\rightarrow -8^-} y = \lim_{x\rightarrow -8^-} \frac{8x}{x+8}= + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow -8^+} y = \lim_{x\rightarrow -8^+} \frac{8x}{x+8}= - \infty\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 8 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 8.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị là phần bên phải trục Oy:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 0).
Điểm (8; 4) thuộc đồ thị của hàm số.
a) Vì R'(x) > 0 nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.
b) Do \(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =8\) nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω
-----------------------------------------------
Giải các trang tiếp theo thuộc phạm vi bài học:
- Giải Toán 12 trang 26 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 28 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 29 toán 12 KNTT tập 1
- Giải Toán 12 trang 32 toán 12 KNTT tập 1
Hy vọng phần Giải Toán 12 trang 32 tập 1 Kết nối tri thức trên đây đã giúp học sinh hoàn thành tốt các bài tập thuộc Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Qua các dạng bài, học sinh có cơ hội ôn lại những bước quan trọng khi khảo sát một hàm số, từ xác định tập xác định, tính đạo hàm đến xét tính đơn điệu, tìm cực trị, lập bảng biến thiên và hoàn thiện đồ thị.
Nắm vững quy trình khảo sát sự biến thiên không chỉ giúp các em giải chính xác bài tập trang 26 mà còn tạo nền tảng để xử lý nhiều dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong Toán 12 KNTT . Khi làm bài, học sinh cần chú ý điều kiện xác định, dấu của đạo hàm và cách trình bày bảng biến thiên; đồng thời kiểm tra lại các kết quả trước khi kết luận.
