Giải Toán 12 trang 32 tập 1 Chân trời sáng tạo
Giải Toán 12 trang 32 Tập 1
Giải Toán 12 trang 32 Tập 1 hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 32.
Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) 
\(y = x - \frac{1}{x}\)
b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\)
Hướng dẫn giải:
a) \(y = x - \frac{1}{x}\)
1. Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y'=1+\frac{1}{x^2}\). Vì y' > 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((– ∞; 0)\) và \((0; + ∞)\).
- Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left (x - \frac{1}{x} \right ) = -\infty ;\) \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left (x - \frac{1}{x} \right) = +\infty\)
Ta có: \(a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \left ( 1-\frac{1}{x^2} \right ) = 1\) và \(b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left [\left ( x-\frac{1}{x } \right ) -x\right ] = 0\)
Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\lim_{x \rightarrow 0^+} y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left (x - \frac{1}{x} \right ) =-\infty ;\) \(\lim_{x \rightarrow 0^-} y = \lim_{x \rightarrow 0^-} \left (x - \frac{1}{x} \right ) =+\infty ;\). Suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Ta có y = 0 ⇔ \(x-\frac{ 1}{x }=0\)
⇔ x = - 1 hoặc x = 1.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (- 1; 0) và (1; 0).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 0).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x.
b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
1. Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y'= \frac{-x^2-2x}{(x+1)^2}\). Ta có y' = 0 ⇔ x = - 2 hoặc x = 0.
Trên các khoảng (- 2; - 1) và (- 1; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng \((-\infty ;-2)\) và \((0; +\infty )\), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 và yCT = 5
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 1
- Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left (- x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} \right ) = +\infty ;\) \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left (- x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} \right ) = -\infty\)
Ta có: \(a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \left ( -1+ \frac{2}{x } -\frac{1}{x^2+x} \right ) = -1\) và \(b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left [\left (- x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} \right ) +x\right ] = 2\)
Suy ra đường thẳng y = - x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\lim_{x \rightarrow -1^+} y = \lim_{x \rightarrow -1^+}\left (- x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} \right ) =-\infty ;\) \(\lim_{x \rightarrow -1^-} y = \lim_{x \rightarrow -1^-} \left (- x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} \right ) =+\infty\). Suy ra đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Ta có y = 0 ⇔ \(- x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}=0\)
⇔ \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm \(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)\) và \(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right)\).
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; 1).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(- 1; 3).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = - 1 và y = - x + 2.
c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\)
1. Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y'= \frac{-(x^2+2x+3)}{(x+1)^2}\). Vì y' < 0 với mọi x ≠ - 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó \((-\infty ;-1)\) và \((-1;+\infty )\).
- Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = +\infty ;\) \(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = -\infty\)
Ta có: \(a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x^2 + x}} = -1\) và \(b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left (\frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} +x\right ) = 0\)
Suy ra đường thẳng y = - x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\lim_{x \rightarrow -1^+} y = \lim_{x \rightarrow -1^+}\frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =+\infty ;\) \(\lim_{x \rightarrow -1^-} y = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =-\infty\). Suy ra đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Ta có y = 0 ⇔ \(\frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =0\)
⇔ x = - 2 hoặc x = 1
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-2; 0) và (1; 0).
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; 2).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(- 1; 1).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = - 1 và y = - x.
-----------------------------------------------
---> Xem thêm: Giải Toán 12 trang 35 tập 1 Chân trời sáng tạo
Lời giải Toán 12 trang 32 Tập 1 Chân trời sáng tạo với các câu hỏi nằm trong Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản, được VnDoc biên soạn và đăng tải!
