Giải Toán 12 trang 44 tập 1 Cánh diều
Giải Toán 12 trang 44 Cánh diều Tập 1
Giải Toán 12 trang 44 Tập 1 hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 1 trang 44.
Bài 7 trang 44 SGK Toán 12 tập 1
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.
Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao h của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm
h(t) = – 0,01t3 + 1,1t2 – 30t + 250,
trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Tìm thời điểm t (0 ≤ t ≤ 50) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?
b) Vẽ đồ thị của hàm số y = h(t) với 0 ≤ t ≤ 70 (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 50 km).
c) Gọi v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với 0 ≤ t ≤ 50. Xác định hàm số v(t).
d) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t = 25 (giây) là bao nhiêu?
e) Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm h(t) = – 0,01t3 + 1,1t2 – 30t + 250, 0 ≤ t ≤ 70
Ta có: h'(t) = – 0,03t2 + 2,2t – 30
h(t) = 0 ⇔ 
\(t=\frac{10\left(11-\sqrt{31}\right)}{3}\) hoặc \(t=\frac{10\left(11+\sqrt{31}\right)}{3}\)
h(0) = 250; h(70) = 110
\(h\left(\frac{10\left(11-\sqrt{31}\right)}{3}\right)=\frac{10\left(367-62\sqrt{31}\right)}{27}\)
\(h\left(\frac{10\left(11+\sqrt{31}\right)}{3}\right)=\frac{10\left(367+62\sqrt{31}\right)}{27}\)
Vậy tại thời điểm \(t=\frac{10\left(11-\sqrt{31}\right)}{3}\) thì con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng và \(h\left(\frac{10\left(11-\sqrt{31}\right)}{3}\right)=\frac{10\left(367-62\sqrt{31}\right)}{27}\).
b) Đồ thị:
c) Vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm được xác định bởi hàm:
v(t) = h'(t) = – 0,03t2 + 2,2t – 30 với t ∈ [0; 70].
d) Tại thời điểm bắt đầu đốt cháy các tên lửa hãm, ta có: v(0) = – 30 (km/s).
Tại thời điểm t = 25 (giây): v(25) = 6,25 (km/s).
e) Từ đồ thị hàm số ở câu b), ta thấy tại thời điểm t = 25 giây, v(t) > 0
Vậy vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.
Bài 8 trang 44 SGK Toán 12 tập 1
Xét phản ứng hóa học tạo ra chất C từ hai chất A và B:
A + B → C.
Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: \([C] = \frac{a^{2} Kt}{aKt + 1}\) (mol/l), trong đó K là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đức Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến, NXB Đại học Sư phạm, 2023).
a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0.
b) Chứng minh nếu x = [C] thì x'(t) = K(a – x)2.
c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi t → + ∞.
d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi t → + ∞.
Hướng dẫn giải:
a) Tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0 là:
\(\left[C\right]'=\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt.aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\)
b) Nếu x = [C] thì x'(t) = [C]'
Do đó \(\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}=K\left(\frac{a}{aKt+1}\right)^2=K\left(\frac{a\left(aKt+1\right)-a^2Kt}{aKt+1}\right)^2\)
\(=K\left(a-\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^2=K\left(a-x\right)^2\)
c) Đối với chất A và B, khi t → + ∞ thì nồng độ của chúng tiến tới 0.
Đối với chất C, khi t → + ∞ thì nồng độ tiến tới a (mol/l)
d) Ta có: tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0 là:
\(\left[C\right]'=\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt.aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\)
Vậy, khi t → + ∞, tốc độ phản ứng sẽ giảm dần và tiến tới 0. Tức là phản ứng đã hoàn toàn xảy ra và không còn chất nào tiếp tục phản ứng nữa.
-----------------------------------------------
---> Xem thêm: Giải Toán 12 trang 45 tập 1 Cánh diều
Lời giải Toán 12 trang 44 Tập 1 Cánh diều với các câu hỏi nằm trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, được VnDoc biên soạn và đăng tải!
