VnDoc.com

Giải Toán 12 trang 58 tập 1 Kết nối tri thức

Bài trước

Bài sau

Giải Toán 12 trang 58 Tập 1

Bài 2.1 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.2 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.3 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.4 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.6 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.7 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 2.8 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giải Toán 12 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 trang 58.

Bài 2.1 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong không gian, cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ phân biệt và đều khác $\overrightarrow {0}$ $\overrightarrow {0}$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow {c}$ $\overrightarrow {c}$ thì $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow {c}$ $\overrightarrow {c}$ thì $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow {c}$ $\overrightarrow {c}$ thì $\vec{a}$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ $\vec{b}$ ngược hướng.

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow {c}$ $\overrightarrow {c}$ thì $\vec{a}$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ $\vec{b}$ ngược hướng.

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là: a), b)

Bài 2.2 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{BB$ $\overrightarrow{BB'},\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BD$ $\overrightarrow{BD'}$.

Hướng dẫn giải:

Vì ABB'A' là hình chữ nhật nên AA' = BB' = DD' = 4 ⇒ $|\overrightarrow{BB$ $|\overrightarrow{BB'} |=4$

ABCD là hình chữ nhật nên $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

⇒ $|\overrightarrow{BD} |=\sqrt{13}$ $|\overrightarrow{BD} |=\sqrt{13}$

Do BDD'B' là hình chữ nhật nên $BD'=\sqrt{BD^2+DD'^2}=\sqrt{(\sqrt{13} )^2+4^2}=\sqrt{29}$

⇒ $|\overrightarrow{BD$ $|\overrightarrow{BD'} |=\sqrt{29}$

Bài 2.3 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\vec{a}$ $\vec{a}$) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\vec{a} ,\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ $\vec{a} ,\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ và $\vec{e}$ $\vec{e}$.

b) Giải thích vì sao các vectơ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ đôi một bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Các vectơ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ đều cùng phương với vectơ $\vec{a}$ $\vec{a}$ nên chúng đôi một cùng phương với nhau.

Các vectơ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ đều ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ $\vec{a}$ nên chúng đôi một cùng hướng với nhau.

b) Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực có độ lớn bằng nhau, do đó các vectơ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ có độ dài bằng nhau.

Vậy các vectơ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ $\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$ đôi một bằng nhau

Bài 2.4 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{CC'}$

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD'}-\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$

c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC$ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A'C}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{C'D'}$

$=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC$ $=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}$

$=(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{CC$ $=(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{CC'}$

$=\overrightarrow{CC$ $=\overrightarrow{CC'}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD'}-\overrightarrow{CC'}$

$=\overrightarrow{D$ $=\overrightarrow{D'C'}+\overrightarrow{C'D'}$

$=\overrightarrow{0}$ $=\overrightarrow{0}$

c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC$ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{DC}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA$ $=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'C}$

Bài 2.5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{AA$ $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$:

a) $\overrightarrow{AB$ $\overrightarrow{AB'}$

b) $\overrightarrow{B$ $\overrightarrow{B'C}$

c) $\overrightarrow{BC$ $\overrightarrow{BC'}$

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{AB$ $\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

b) $\overrightarrow{B$ $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

c) $\overrightarrow{BC$ $\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{AA$ $=\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ $=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Bài 2.6 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SC}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ $\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài và cùng hướng

Suy ra BA = CD và BA // CD

Vậy ABCD là hình bình hành

Bài 2.7 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BN}$ $\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BN}$

$=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BN}$ $=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BN}$

$=\frac{1}{3} \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ $=\frac{1}{3} \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$= \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$ $= \frac{1}{3} (\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$

Bài 2.8 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG}$ $\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG}$, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).