VnDoc.com

Giải Toán 12 trang 44 tập 1 Kết nối tri thức

Bài trước

Bài sau

Giải Toán 12 trang 44 Tập 1

Bài 1.41 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 1.43 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 1.45 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối
Bài 1.46 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Giải Toán 12 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 trang 44.

Bài 1.41 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x+1}{3x-2}$ $y = \frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞);

b) $y = \sqrt{2-x^{2} }$ $y = \sqrt{2-x^{2} }$

Hướng dẫn giải:

a) $y = \frac{2x+1}{3x-2}$ $y = \frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞)

Ta có: $y'=-\frac{7}{\left(3x-2\right)^2} <0$ với mọi x ≥ 2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có $\underset{[2;+\infty)}{\max} y=y(2)=\frac{5}{4}$ $\underset{[2;+\infty)}{\max} y=y(2)=\frac{5}{4}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) $y = \sqrt{2-x^{2} }$ $y = \sqrt{2-x^{2} }$

TXĐ: $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Ta có: $y'=-\frac{x}{ \sqrt{2-x^2} }$; y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có $\underset{[-\sqrt{2} ;\sqrt{2}] }{\max} y=y(0)=\sqrt{2}$ $\underset{[-\sqrt{2} ;\sqrt{2}] }{\max} y=y(0)=\sqrt{2}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{3x-2}{x+1}$ $y = \frac{3x-2}{x+1}$

b) $y = \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1}$ $y = \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1}$

Hướng dẫn giải:

a) $y = \frac{3x-2}{x+1}$ $y = \frac{3x-2}{x+1}$

Ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3$ $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3$

$\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3$ $\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.

Ta có: $\lim_{x\rightarrow -1^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^+} \frac{3x-2}{x+1} = -\infty$ $\lim_{x\rightarrow -1^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^+} \frac{3x-2}{x+1} = -\infty$

$\lim_{x\rightarrow -1^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{3x-2}{x+1} = +\infty$ $\lim_{x\rightarrow -1^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{3x-2}{x+1} = +\infty$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1.

b) $y=f(x)=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right)+\frac{1}{4\left(2x-1\right)}$ $y=f(x)=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right)+\frac{1}{4\left(2x-1\right)}$

Ta có: $\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^+} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = +\infty$ $\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^+} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = +\infty$

$\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^-} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = -\infty$ $\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^-} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = -\infty$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\frac{1}{2}$ $x=\frac{1}{2}$.

Ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0$ $\lim_{x\rightarrow +\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0$

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$.

Bài 1.43 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12;

b) $y = \frac{2x-1}{x+1}$ $y = \frac{2x-1}{x+1}$

c) $y = \frac{x^{2}-2x }{x-1}$ $y = \frac{x^{2}-2x }{x-1}$

Hướng dẫn giải:

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: y' = - 3x² + 12x - 9. Vậy y' = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.
Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_CT = 8. Hàm số đạt cực đại tại x = 3, giá trị cực đại y_CĐ = 12.
Giới hạn tại vô cực:

$\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = + \infty$ $\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = + \infty$

$\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = - \infty$ $\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = - \infty$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 12).

Điểm (1; 8) thuộc đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) $y = \frac{2x-1}{x+1}$ $y = \frac{2x-1}{x+1}$

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}$ $\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y'=\frac{3}{\left(x+1\right)^2} >0$ với mọi x ≠ - 1.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; - 1) và (- 1; + ∞).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: $\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} \frac{2x-1}{x+1} = + \infty$ $\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} \frac{2x-1}{x+1} = + \infty$

$\lim_{x\rightarrow - 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^+} \frac{2x-1}{x+1} = -\infty$ $\lim_{x\rightarrow - 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^+} \frac{2x-1}{x+1} = -\infty$

$\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2$ $\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2$

$\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2$ $\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 1).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left( \frac{1}{2};0\right)$ $\left( \frac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) $y = \frac{x^{2}-2x }{x-1} = x-1-\frac{1}{x-1}$ $y = \frac{x^{2}-2x }{x-1} = x-1-\frac{1}{x-1}$

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}$ $\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y'=1+\frac{1}{\left(x-1\right)^2} >0$ với mọi x ≠ 1.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; 1) và (1; + ∞).
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: $\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = + \infty$ $\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = + \infty$

$\lim_{x\rightarrow 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^+} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = -\infty$ $\lim_{x\rightarrow 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^+} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = -\infty$

$\lim_{x\rightarrow + \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow + \infty} -\frac{1}{x+1} = 0$ $\lim_{x\rightarrow + \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow + \infty} -\frac{1}{x+1} = 0$

$\lim_{x\rightarrow - \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow - \infty} -\frac{1}{x+1} = 0$ $\lim_{x\rightarrow - \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow - \infty} -\frac{1}{x+1} = 0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận xiên là đường thẳng y = x - 1.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 0).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (2; 0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f}$ $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f}$

a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞).

b) Tính các giới hạn $\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p); \lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p)$ $\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p); \lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Leftrightarrow q = g(p) =\frac{fp}{p-f}$ $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Leftrightarrow q = g(p) =\frac{fp}{p-f}$ với p ∈ (f; +∞).

b) Ta có: $\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p) = \lim_{p\rightarrow +\infty }\frac{fp}{p-f} =f$ $\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p) = \lim_{p\rightarrow +\infty }\frac{fp}{p-f} =f$

=> Khoảng cách từ vật đến thấu kính càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng gần bằng tiêu cự.

$\lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p) = \lim_{p\rightarrow f^{+} }\frac{fp}{p-f} = + \infty$ $\lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p) = \lim_{p\rightarrow f^{+} }\frac{fp}{p-f} = + \infty$

=> Khoảng cách từ vật đến thấu kính càng tiến về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng lớn.

c) Ta có: $q'=\frac{-f^2}{\left(p-f\right)^2}<0$ với p ∈ (f; +∞).

Bảng biến thiên:

Bài 1.45 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e^0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].

c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Hướng dẫn giải:

Đang cập nhật...

Bài 1.46 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Đang cập nhật...

-----------------------------------------------

---> Bài tiếp theo: Toán 12 Kết nối tri thức bài 6: Vectơ trong không gian

Lời giải Toán 12 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức với các câu hỏi nằm trong Bài tập cuối chương 1, được VnDoc biên soạn và đăng tải!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

118

Bài trước

Bài sau