Giải Toán 12 trang 44 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài tập Toán 12 trang 44 cuối chương 1
Giải Toán 12 trang 44 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải các bài tập trong Bài tập cuối chương 1. Nội dung được trình bày rõ ràng, bám sát SGK Toán 12 Kết nối tri thức, giúp học sinh hệ thống kiến thức về hàm số, đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và đường tiệm cận.
Giải bài 1.41 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) 
\(y = \frac{2x+1}{3x-2}\) trên nửa khoảng [2; +∞);
b) \(y = \sqrt{2-x^{2} }\)
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số \(y = \frac{2x+1}{3x-2}\) trên nửa khoảng [2; +∞)
Ta có: \(y'=-\frac{7}{\left(3x-2\right)^2} <0\) với mọi x ≥ 2.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có \(\underset{[2;+\infty)}{\max} y=y(2)=\frac{5}{4}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số \(y = \sqrt{2-x^{2} }\)
TXĐ: \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
Ta có: \(y'=-\frac{x}{ \sqrt{2-x^2} }\); y' = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có \(\underset{[-\sqrt{2} ;\sqrt{2}] }{\max} y=y(0)=\sqrt{2}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
Giải bài 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{3x-2}{x+1}\) b) \(y = \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1}\)
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số \(y = \frac{3x-2}{x+1}\)
Ta có: \(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3\)
\(\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.
Ta có: \(\lim_{x\rightarrow -1^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^+} \frac{3x-2}{x+1} = -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow -1^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{3x-2}{x+1} = +\infty\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1.
b) Ta có:
\(y=f(x)=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right)+\frac{1}{4\left(2x-1\right)}\)
Ta có: \(\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^+} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^-} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = -\infty\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\frac{1}{2}\).
Ta có: \(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\).
Giải bài 1.43 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = −x3 + 6x2 – 9x + 12; b) \(y = \frac{2x-1}{x+1}\) c) \(y = \frac{x^{2}-2x }{x-1}\)
Hướng dẫn giải:
a) Xét hàm số y = −x3 + 6x2 – 9x + 12
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
- Ta có: y' = - 3x2 + 12x - 9. Vậy y' = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.
- Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yCT = 8. Hàm số đạt cực đại tại x = 3, giá trị cực đại yCĐ = 12.
- Giới hạn tại vô cực:
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = - \infty\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 12).
Điểm (1; 8) thuộc đồ thị hàm số.
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).
b) Xét hàm số \(y = \frac{2x-1}{x+1}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
- Ta có: \(y'=\frac{3}{\left(x+1\right)^2} >0\) với mọi x ≠ - 1.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; - 1) và (- 1; + ∞).
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} \frac{2x-1}{x+1} = + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^+} \frac{2x-1}{x+1} = -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2\)
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 1).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( \frac{1}{2};0\right)\).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
c) Xét hàm số \(y = \frac{x^{2}-2x }{x-1} = x-1-\frac{1}{x-1}\)
1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)
2. Sự biến thiên:
- Ta có: \(y'=1+\frac{1}{\left(x-1\right)^2} >0\) với mọi x ≠ 1.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; 1) và (1; + ∞).
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = + \infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^+} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = -\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow + \infty} -\frac{1}{x+1} = 0\)
\(\lim_{x\rightarrow - \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow - \infty} -\frac{1}{x+1} = 0\)
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận xiên là đường thẳng y = x - 1.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 0).
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (2; 0).
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Giải bài 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f}\)
a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞).
b) Tính các giới hạn \(\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p); \lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Leftrightarrow q = g(p) =\frac{fp}{p-f}\) với p ∈ (f; +∞).
b) Ta có: \(\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p) = \lim_{p\rightarrow +\infty }\frac{fp}{p-f} =f\)
=> Khoảng cách từ vật đến thấu kính càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng gần bằng tiêu cự.
\(\lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p) = \lim_{p\rightarrow f^{+} }\frac{fp}{p-f} = + \infty\)
=> Khoảng cách từ vật đến thấu kính càng tiến về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng lớn.
c) Ta có: \(q'=\frac{-f^2}{\left(p-f\right)^2}<0\) với p ∈ (f; +∞).
Bảng biến thiên:
Giải bài 1.45 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50).
a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].
c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.
Hướng dẫn giải:
a) Dân số của quốc gia này vào năm 2030 (t = 7) là:
N(7) = 100e0,012.7 ≈ 108,763 triệu người.
Dân số của quốc gia này vào năm 2035 (t = 12) là:
N(12) = 100e0,012.12 ≈ 115,488 triệu người.
b) Ta có N'(t) = 100.0,012.e0,012t= 1,2. e0,012t> 0 với mọi t ∈ [0; 50].
Do đó hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].
c) Ta có N'(t) = 1,2. e0,012t. Tốc độ tăng dân số là 1,6 triệu người/năm nếu
1,2. e0,012t = 1,6 \(\Leftrightarrow \;{e^{0,012t}} = \frac{4}{3}\; \Leftrightarrow t = \frac{{\;\ln \frac{4}{3}}}{{0,012}} \approx 23,97\)
Vậy vào khoảng năm 2047 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.
Giải bài 1.46 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 KNTT
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi khoảng cách BM là x (km), \((0 ≤ x ≤ 10)\).
Khi đó khoảng cách AM là \(10 – x (km).\)
Khoảng cách CM là \(\sqrt {16 + {x^2}}\) (km).
Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là: \(f(x) = 30\left( {10 - x} \right) + 50\sqrt {16 + {x^2}}\) (triệu đồng).
Bài toán trở thành tìm x để f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(\;f\prime (x) = - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }}\)
Ta có: f′(x)=0
\(\begin{array}{l}
\; \Leftrightarrow - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }} = 0\\
\; \Leftrightarrow - 30\sqrt {16 + {x^2}} + 50x = 0\\
\; \Leftrightarrow 3\sqrt {16 + {x^2}} = 5x\\
\; \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ge 0\\
9\left( {16 + {x^2}} \right) = 25{x^2}
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)
Ta có: \(f(0) = 500; f(3) = 460\); \(f\left( {10} \right){\rm{ }} = \;100\sqrt {29}\)
Vậy chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 460 triệu đồng khi M cách B một đoạn 3 km trên đoạn AB.
-----------------------------------------------
Trang tiếp theo:
Với Giải Toán 12 trang 44 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể ôn lại những kiến thức trọng tâm của Chương 1 và kiểm tra phương pháp giải từng dạng bài. Hãy kết hợp lời giải với việc tự luyện tập để củng cố kỹ năng, chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra và học tốt môn Toán 12.
