Đề thi Cao học trường Đại học kinh tế Quốc Dân năm 2012 - Môn Toán kinh tế (Có đáp án)

Câu 1 (1 điểm):

Một hãng sản xuất có đường cầu là Q = 1200 – 2P, với P là giá bán.

a) Xác định giá bán P để doanh thu của hãng đạt cực đại.

b) Nếu hãng đặt giá P₁ = 280 thì doanh thu thay đổi bao nhiêu so với doanh thu cực đại.

Câu 2 (1 điểm):

Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp Q = 30K^0,2L^0,9; Trong đó Q là sản lượng (số sản phẩm), K là vốn (triệu đồng), L là lao động (người).

a) Doanh nghiệp có hàm sản xuất có hiệu quả thay đổi như thế nào theo quy mô?

b) Năng suất lao động đo bằng số sản phẩm/1 lao động. Tính tốc độ tăng của năng suất lao động theo vốn tại mức K₀ = 100, L₀ = 40.

Câu 3 (3 điểm):

Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x₁,x₂) = x₁x₂, trong đó x₁, x₂ lần lượt là số lượng sản phẩm thứ nhất và thứ hai được tiêu dùng. Cho giá một đơn vị sản phẩm tương ứng với hai sản phẩm là p₁, p₂, lợi ích hộ gia đình là u₀; p₁, p₂, u₀ > 0.

a) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm tiêu dùng mỗi loại sao cho lợi ích bằng u₀ với ngân sách chi tiêu là cực tiểu.

b) Với p₁ = 8, p₂ = 4, u₀ = 8, hãy tìm lời giải cụ thể cho câu hỏi a).

c) Với dữ kiện câu b) để lợi ích u₀ tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu?

d) Để lợi ích u₀ tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %?

Câu 4 (2 điểm):

Thu hoạch 41 điểm trồng loại đậu A và 30 điểm trồng loại đậu B, quan sát năng suất hai loại đậu người ta thu được các phương sai mẫu tương ứng là 9,53 (tạ/ha)² và 8,41 (tạ/ha)². Giả thiết rằng năng suất cả hai loại đậu là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.

a) Với độ tin cậy 95% độ phân tán của năng suất loại đậu A tối thiểu là bao nhiêu?

b) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ phân tán về năng suất của hai loại đậu là như nhau không?

c) Nếu biết độ phân tán về năng suất của loại đậu A đo bằng độ lệch chuẩn là 3 (tạ/ha) thì khả năng để trong mẫu gồm 41 điểm trồng loại đậu A có phương sai mẫu lớn hơn 5,9645 là bao nhiêu?

Câu 5 (2 điểm):

Kiểm tra ngẫu nhiên 16 bóng đèn loại A tính được tổng tuổi thọ của chúng là 19200 (giờ) và độ lệch chuẩn mẫu là 26,094 (giờ). Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn loại A và loại B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.

a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn loại A với độ tin cậy 95% bằng khoảng tin cậy đối xứng.

b) Phải chọn kích thước mẫu tối thiểu bằng bao nhiêu để với độ tin cậy 95% thì sai số của ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn loại A không vượt quá 5 (giờ).

c) Độ phân tán của tuổi thọ bóng đèn loại B đo bằng độ lệch chuẩn là 20 (giờ). Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tuổi thọ bóng đèn loại B ổn định hơn bóng đèn loại A hay không?

Câu 6 (1 điểm):

Cho biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn và một mẫu ngẫu nhiên kích thước n lập từ X. Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng hợp lý tối đa của E(X).

Cho: