Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi Quốc Gia tỉnh Quảng Trị năm 2012 - 2013 môn Toán

Câu 1 ( 4,0 điểm )

Giải phương trình

Câu 2 (4,0 điểm)

Dãy số thực (u_n) được cho bởi , với n³ > 1

Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là số nguyên dương.

Câu 3 ( 4,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f: ¡ ® ¡ thỏa mãn điều kiện: với mọi x, y, z thuộc ¡ .

Câu 4 (4,0 điểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một phân biệt lấy từ tập {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} sao cho tích hai chữ số kề nhau của số đó là một số chẵn?

Câu 5 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.

Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi PM = PN, với P là trung điểm của cạnh BC.