Đề thi học sinh giỏi lớp 11 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (3.0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình: (cos2x - cos4x)² = 6 + 2sin3x

Câu 2: (2.5 điểm)

a) Tính giới hạn dãy số:

b) Cho dãy số (u_n) xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số (u_n)?

Câu 3: (2.5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD / /BC) và BC = 2a, AB = AD = DC = a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC.

a) Tính SD.

b) Mặt phẳng (α) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với hai đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α). Biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4: (2.0 điểm)

Cho phương trình: x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0

a) Với d = -2013, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

b) Với d = 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh