Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bắc Ninh môn Toán (năm học 2010 - 2011)

Câu 1: (5 điểm)

1/ Cho hàm số y = x³ - 3x + 2 = 0 có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.

2/ Cho hàm số , chứng minh rằng y = x²ⁿ⁺¹ + 2011x + 2012 (1) với mọi số nguyên dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm.

Câu 2: (5 điểm)

1/ Giải phương trình:

2/ Giải phương trình:

Câu 3: (3 điểm)

Kí hiệu C^k_nlà tổ hợp chập k của n phần tử , tính tổng sau:


Câu 4: (5 điểm)

1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a (a > 0), các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất.

2/ Cho tứ diện ABCD có góc BAC = 60⁰, CAD = 120⁰. Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.

Câu 5: (2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: . Chứng minh rằng: