Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bến Tre năm học 2009 - 2010 môn Toán

Để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, Vndoc.com xin giới thiệu đến các bạn: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bến Tre năm học 2009 - 2010 môn Toán.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (3 điểm)

Cho tam giác ABC với A, B là hai điểm cố định; C là điểm di động trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ACIM và BCJP. Chứng minh rằng đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định đó

Câu 2: (4 điểm)

Cho hàm số f: R -> R thỏa các tính chất sau:

- f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) với mọi x, y thuộc R

-

Xác định hàm f

Câu 3: (4 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt trên cạnh AB, BC, CA sao cho . Các cặp đường thẳng AN, CM; BP, AN; CM, PB đôi một cắt nhau tại I, J, K. Đặt .

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Câu 4: (4 điểm)

Cho dãy số:

u₁ = 1²
u₂ = 2² + 4²
u₃ = 5² + 7² + 9²
u₄ = 10² + 12² + 14² + 16²
u₅ = 17² + 19² + 21² + 23² + 25²
u₆ = 26² + 28² + 30² + 32² + 34² + 36²
..........................................................

Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy.

Câu 5: (5 điểm)

Cho đa giác đều A₁A₂A3...A₁₅ nội tiếp đường tròn tâm O. Tất cả các miền tam giác OA₁A_i+1 với i = 1, 2, 3... 15; A₁₆ ≡ A₁ đều được tô bằng một trong năm màu đỏ, vàng, xanh, trắng và đen sao cho hai miền tam giác có chung một cạnh không có màu tô giống nhau. Tìm số cách tô màu các tam giác thỏa mãn đề bài đã cho.