Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2013 - 2014

Vndoc.com xin gửi đến các bạn: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2013 - 2014.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

Câu 1. (4 điểm)

Giải phương trình sau trên tập số thực:

Câu 2. (4 điểm)

Cho dãy số (x_n) xác định bởi

Chứng minh dãy số (x_n) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (4 điểm)

Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm I. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác A). Gọi M,K lần lượt là là trung điểm của BC và AD. Hai đường thẳng BK và AM lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là E,F.

1. Chứng minh góc BAD = góc MAC.

2. Chứng minh hai đường thẳng EF và AB song song với nhau.

Câu 4. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f: R → R thoả mãn điều kiện: f(xy + f(x)) + f(x - y(f(x)) = 2x, với mọi x, y thuộc R.

Câu 5. (4 điểm)

Người ta xếp 2014 bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý 5 bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong 5 bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của 5 bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc.

Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc