Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hà Tĩnh môn Toán (năm học 2010 - 2011)

Bài 1.

a) Giải hệ phương trình:

b) Trong mặt phẳng, với hệ toạ độ Oxy, chứng minh đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm:

Bài 2.

Tìm tham số m để hàm số y = x³ + 3mx² + 3(m + 1)x + 1 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4.

Bài 3.

Hai số thực x, y thoả mãn: x² + 4y² = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x³ + 4y³ - 3xy

Bài 4.

Hình chóp A.BCD có góc ACB = góc ADB = 90⁰. AB = 2a. Đáy BCD là tam giác cân tại B, có góc CBD = 2α và CD = a. Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a và α.

Bài 5.

Tam giác ABC không nhọn có các góc thoả mãn đẳng thức:

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?