Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 cấp Quận Hoàn Kiếm năm học 2012 - 2013

MÔN THI: TOÁN - LỚP 9

Câu I: (6,0 điểm)

1) So sánh

2) Cho a và b là các số dương. Chứng minh

Câu II: (3,0 điểm)

Tìm m để phương trình 3|x| + 2mx = 3m - 1 có nghiệm duy nhất

Câu III: (3,0 điểm)

Mạng lưới ô tô buýt trong một thành phố được cấu tạo sao cho:

- Mỗi tuyến đường có ba tuyến dừng

- Hai tuyến đường bất kỳ hoặc không có chỗ dừng hoặc chỉ có một chỗ dừng chung

Hãy cho biết số lớn nhất về tuyến đường trong thành phố, biết rằng có tất cả 9 chỗ dừng khác nhau (vẽ hình minh họa)

Câu IV: (4,0 điểm)

Cho góc nhọn xMy và một điểm A cố định nằm trên tia Mx. Đường tròn (O) thay đổi và luôn tiếp xúc với Mx, My ở B, C (B khác A)

1. Chứng minh O luôn chạy trên một tia cố định

2. Từ A kẻ tiếp tuyến AD đến (O) (D khác B). Đường thẳng CD cắt đường thẳng MO tại E. Chứng minh bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn,

3. Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổi thì đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định.

Câu V: (4,0 điểm)

1. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó, Biết C và người song sinh của C là hai người khác giới, và C không là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia?

2. Hay chia một tam giác bấ kỳ thành bẩy tam giác cân trong đó có ba tam giác bằng nhau.