Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Hải Dương năm 2014

Câu 1 (2 điểm).

a) Rút gọn biểu thức với

b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a³ - a²b + ab² - 6b³ = 0.

Tính giá trị của biểu thức

Câu 2 (2 điểm).

a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

Câu 3 (2 điểm).

a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy² + 2xy + x = 32y.

b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a² + a = 3b² + b.

Chứng minh rằng 2a + 2b + 1 là số chính phương.

Câu 4 (3 điểm).

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.

a) Chứng minh góc HKM = 2AMH.

b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.

Câu 5 (1 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab + 6bc + 2ac = 7abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: