Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Hòa Bình năm 2010 - 2011 môn Toán - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÒA BÌNH Đề thi chính thức

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 22/3/2011

Bài 1: (4 điểm)

1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau:

a/ A = x³ + 3x²y - 4xy² - 12y³ b/ B = x³ + 4y² - 2xy + x² + 8y²

2. Cho . Chứng minh rằng a là một số nguyên.

Bài 2: (6 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Cho hàm số y = (m - 1)x + m² - 1 (m: tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân.

3. Tìm x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: (4 điểm)

1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính bằng 2. Biết góc BAC = 60^o, đường cao AH = 3. Tính diện tích tam giác ABC.

2. Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia một trận. Biết rằng tổng số trận đấu bằng bốn lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tìm số cầu thủ của mỗi đội.

Bài 4: (5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Hai điểm E, F thay đổi trên nửa đường tròn sao cho số đo cung AE khác không và nhỏ hơn số đo cung AF, biết EF = R . Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại I.

1. Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong một đường trũn.

2. Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài QG không đổi.

3. Chứng minh rằng QG song song với AB.

Bài 5: (1 điểm)

Giải phương trình: