Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Thanh Hóa năm học 2010 - 2011 môn Toán (Có đáp án)

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I. (5,0 điểm).

1) Cho phương trình: x² - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi.

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng là số hữu tỉ.

(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.

Câu II. (5,0 điểm).

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu III. (2,0 điểm).

Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.

Tính góc BPE?

Câu IV. (4,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O ∉ AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P ≠ A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (N ≠ P).

1) Chứng minh rằng góc ANP = góc BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.

Câu V. (4,0 điểm).

1) Cho a₁, a₂,..., a₄₅ là số tự nhiên dương thoả mãn a₁ < a₂ <...< a₄₅ ≤ 130. Đặt d_j = a_j+1 - a_j, (j = 1, 2, ..., 44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d_j xuất hiện ít nhất 10 lần.

2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn:

Chứng minh rằng: