Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 - 2012 môn Toán (Có đáp án)

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

1) Rút gọn P.

2) Tính giá trị của P khi

Câu II (4,0 điểm)

Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x - 2 và parabol (P): y = - x². Gọi A và B là giao điểm của d và (P).

1) Tính độ dài AB.

2) Tìm m để đường thẳng d': y = - x + m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB.

Câu III (4,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x⁶ + y² - 2x³y = 320

Câu IV (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C₁) và (C₂) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh
rằng:

1) ME là tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₁).

2) KH ⊥ AM.

Câu V (2,0 điểm)

Với 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: