Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012 môn Toán - Có đáp án
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
|
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
|
Câu 1 (3,0 điểm).
1. Cho 
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2. Cho biểu thức 
Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn (x + y)3 = (x - y - 6)2.
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc + bcd + cda + dab = a + b + c + d + √2012
Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) ≥ 2012.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) (kí hiệu (X) chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử (O1), (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và (O1), (O2) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại M1, M2. Tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại điểm I cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm A, A'. Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn (O1) tại điểm N1, đường thẳng AM2 cắt lại đường tròn (O2) tại điểm N2.
1. Chứng minh rằng tứ giác M1N1M2N2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng N1N2.
2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn (O) sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung AM1 không chứa điểm M2). Chứng minh rằng nếu PM1, QM2 không song song thì các đường thẳng AI, PM1 và QM2 đồng quy.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.
