Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 môn Toán - Có đáp án

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tính tổng:

b) Cho các số nguyên x và y thỏa mãn 4x + 5y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 5|x| - 3|y|

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn:

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC (AC > AB) có các đường cao AA', BB ', CC và trực tâm H. Gọi (O) là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Gọi ' M là giao điểm thứ hai của A'N và đường tròn (O), K là giao điểm của OH và B'C'. Chứng minh rằng:

a) M' đối xứng với M qua BC .

b) Ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c)

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho bảng ô vuông 3 x 3 (3 hàng và 3 cột). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô của bảng (mỗi số điền vào một ô) sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng con có kích thước 2 x 2 đều bằng nhau và bằng một số T nào đó. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của T.