Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2012 - 2013 môn Toán lớp 12 (Có đáp án)

Để chuẩn bị cho kỳ thi chọn học sinh giỏi, Vndoc.com xin giới thiệu đến các bạn: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2012 - 2013 môn Toán lớp 12 (Có đáp án).

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho hàm số y = x³ + x2 + 1 (1)

1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồthị hàm số (1) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d có phương trình x + 5y - 1 = 0

2. Tìm m để đường thẳng Δ có phương trình y = (m + 1)x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C, biết hai điểm B, C có hoành độ lần lượt là x₁, x₂ thỏa mãn:

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,0 điểm)

Tính tổng:

Câu 4. (4,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;1), B(3; 2), C(7;10). Lập phương trình đường thẳng Δ đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng Δ lớn nhất.

2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu (S₁): x² + y² + (z - 1)² = 4 và (S₂): (x - 3)² + (y - 1)² + (z + 1)² = 25. Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh AB, CD sao cho mặt phẳng (SMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM = x, AN = y. Chứng minh rằng x + y = 3xy, từ đó tìm x, y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất.

Câu 6. (1,0 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = a³ + b³ + c³. Chứng minh rằng: