Đề thi học sinh giỏi tỉnh Cà Mau lớp 9 năm 2009 môn Toán

Bài 1 (3,0 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức:

b) Rút gọn biểu thức:

Bài 2 (3,0 điểm):

a) Chứng minh rằng số là số hữu tỉ.

b) Cho đa thức f(x) = mx³ + (m – 2)x² – (3n – 5)x – 4n. Xác định m, n sao cho đa thức f(x) chia hết cho x + 1 và x – 3.

Bài 3 (3,0 điểm):

Tìm một số tự nhiên gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số ở hàng đơn vị đặt về bên trái của số gồm hai chữ số còn lại, ta được một số có ba chữ số lớn hơn chữ số ban đầu 765 đơn vị.

Bài 4 (3,0 điểm):

Cho đa thức f(x – 1) = x² – (m + 1)x – m² + 2m – 2 .

a) Tìm f(x).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) khi m = – 2.

Bài 5 (3,5 điểm):

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh CD, E là giao điểm của AC và BI, F là giao điểm của hai tia AB và DE. Chứng minh rằng :

a) B là trung điểm của đoạn thẳng AF.

b) Nếu BC = BD thì AC = FD.

c) Nếu AC = FD thì BC = BD.

Bài 6 (4,5 điểm):

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) trong đó hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Cho biết ADB là tam giác cân có góc A > 900.

a) Chứng minh rằng: AD2 = AM.AC .

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DCM và J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Chứng minh rằng: .

c) Chứng minh rằng: Tổng các độ dài của hai đoạn thẳng ID và JB không tuỳ thuộc vào vị trí của điểm C trên cung lớn BD của đường tròn (O)