Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm 2012 - 2013 môn Toán (vòng 2)

Để chuẩn bị cho kỳ thi chọn học sinh giỏi, Vndoc.com xin giới thiệu đến các bạn: Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm 2012 - 2013 môn Toán (vòng 2).

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

Bài 1. (4 điểm)

Cho số nguyên dương n. Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

Bài 2. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số

Bài 3. (4 điểm)

Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là d₁, d₂, d_k. Chứng minh rằng nếu d₁ + d₂ + ... + d_k + k = 2n + 1 thì n/2 là số chính phương.

Bài 4. (4 điểm)

Cho ba đường tròn (C), (C₁), (C₂) trong đó (C₁) và (C₂) tiếp xúc trong với (C) tại B, C và (C₁), (C₂) tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của (C₁) và (C₂) cắt (C) tại hai điểm A và E. Đường thẳng AB cắt (C₁) tại điểm thứ hai M đường thẳng AC cắt (C₂) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng:

Bài 5. (4 điểm)

Cho một bảng ô vuông có 2012 x 2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không?