Đề thi học sinh giỏi Văn hóa lớp 8 tỉnh Bắc Giang năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH (Đề thi chính thức)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 (Ngày thi: 30 tháng 3 năm 2013)

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. (4,5 điểm)

1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P = 2a³ + 7a²b + 7ab² + 2b³

2) Cho x² + x = 1. Tính giá trị biểu thức Q = x⁶ + 2x⁵ + 2x³ + 2x² + 2x + 1.

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Cho biểu thức: . Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức.

2) Giải phương trình sau: |x - 2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n³ - n chia hết cho 24.

2) Tìm số tự nhiên n để n² + 4n + 2013 là một số chính phương.

Câu 4. (6,0 điểm)

1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD = 2AB = 2AD và .

a. Tính diện tích hình thang ABCD theo a.

b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh góc HDI = 45^o.

2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là l_a, l_b, l_c. Chứng minh rằng:

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho hai số không âm a và b thoả mãn a² + b² = a + b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: