Đề thi học sinh giỏi Văn hóa lớp 9 tỉnh Bắc Giang năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. (5,0 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức .

2) Rút gọn biểu thức .

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: .

2) Giải hệ phương trình sau: .

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho hàm số y = x². Tìm các giá trị của m để đường thẳng Δ có phương trình y = x - m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A(x₁; x₂), B(x₂; y₂) thoả mãn: (x₂ - x₁)⁴ + (y₂ - y₁)⁴ = 18.

2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 20abc < 30(ab + bc + ca) < 21abc

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D.

1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.

2) Chứng minh: .

3) Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc = 1.

Chứng minh rằng: