Đề thi hướng tới Olympic Toán 2013 - Khối 10

Đề thi hướng tới Olympic Toán 2013

Đề thi hướng tới Olympic Toán 2013 được tổ chức bởi câu lạc bộ Toán học từ ngày 29/07 đến ngày 04/08/2012

Khối 10:

Bài 1: Cho dãy số nguyên dương {a_n} thỏa mãn điều kiện m + n chia hết cho a_m + a_n với mọi m, n nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của a₂₀₁₂

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi UV là một dây cung của (O). Giả sử UV cắt AB, AC lần lượt tại Q và P. Gọi M, N, J, R theo thứ tự là trung điểm BP, CQ, PQ và UV. Chứng minh rằng R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 ta có:

Bài 4: Hỏi có thể phủ bàn cờ 8 x 8 bằng 9 hình vuông 2 x 2 và 7 hình chữ nhật Z được hay không? Giải thích rõ câu trả lời.

Khối 11:

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Bài 4: Trong chương trình gặp gỡ Toán học lần IV có tổng cộng 673 tựa sách và quyết định tổ chức đăng ký mua sách cho các thành viên tham gia. Sau khi thu phiếu đăng ký, ban tổ chức phát hiện các điều thú vị sau:

a. Tất cả các bạn đều đăng ký mua đúng ba tựa sách

b. Hai bạn bất kỳ đăng ký mua giống nhau ít nhất một tựa sách

c. Không có tựa sách nào được tất cả các thành viên đăng ký mua.

d. Không có ba bạn nào mua ba tựa sách giống nhau.

Chứng minh rằng ở kỳ Gặp gỡ Toán học lần này có nhiều nhất 2011 bạn tham gia giao lưu và học tập