Đề thi thử học sinh giỏi tỉnh Long An lớp 9 môn Toán - Đề 2

Câu 1: (4 điểm)

a. Rút gọn biểu thức:

b. Cho biểu thức:

Rút gọn P và chứng minh rằng P < 3.

Câu 2: (5điểm)

a. Chứng minh rằng các đường thẳng y= 2x + 4 ; y = 3x + 5 và y = - 2x cùng đi qua 1 điểm. (2 điểm)

Giải phương trình (1 điểm):

Tìm cặp số (x,y) thoả mãn phương trình: x² + y² + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất. (2 điểm)

Câu 3: (5 điểm)

Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC bé hơn 900. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của đường tròn tại C và E cắt nhau tại điểm N. Các đường thẳng AB và CE cắt nhau tại Q, AE và CN cắt nhau tại P.

a. Chứng minh SA = SD (2 điểm)

b. Chứng minh EN song song BC và hai tam giác QCB , PCE đồng dạng. (2 điểm)

c. Chứng minh hệ thức (1 điểm):

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD) và AB = a; CD = b. Gọi giao điểm hai đường chéo của hình thang này là O. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E; F.

a. Chứng minh OE = OF (2 điểm)

b. Chứng minh EF² ≤ ab(1 điểm)

Câu 5: (3 điểm)

a. Giải hệ phương trình: (2 điểm)

b. Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn:

Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều. (1 điểm)