Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2015 - 2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2015 - 2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội là đề thi vào lớp 10 môn Toán được VnDoc.com cập nhật gửi đến các bạn tham khảo đề thi.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Hóa năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên, Hà Nội

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chung) năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Sư Phạm, Hà Nội

Đề thi vào lớp 10 môn Toán

MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I. (3 điểm)

1. Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a² + 3a = b² + 3b = 2

• Chứng minh rằng a + b = -3.
• Chứng minh rằng a³ + b³ = -45.

2. Giải hệ phương trình

Câu II. (3 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy -1 chia hết cho (x - 1)(y - 1).

2) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x²y² + 2y + 1 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Câu III. (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC, IB.

1) Chứng minh rằng EF song song với BC.

2) Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE, DF, EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, J cùng nằm trên một đường tròn.

3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

Câu IV. (1 điểm)

1) Cho bảng ô vuông 2015 x 2015. Kí hiệu ô (i, j) là ô ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết các số nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau:

Hình 1

i) Số 1 được viết vào ô (1,1).

ii) Nếu số k được viết vào ô (i, j) thì số k+1 được viết vào ô (i - 1, j + 1).

iii) Nếu số k được viết vào ô (1, j) thì số k+1 được viết vào ô (j + 1, 1). (Xem hình 1.)

Khi đó số 2015 được viết vào ô (m, n). Hãy xác định m và n.

2) Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac + abc ≤ 4. Chứng minh rằng:

a² + b² + c² + a + b + c ≥ 2(ab + bc + ac)

Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Câu 1:

a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn

↔ a² - b² + 3(a - b) = 0

→ (a + b)(a - b) + 3(a - b) = 0

→ (a + b + 3)(a - b) = 0

Loại trường hợp a - b = 0 do a, b là 2 số thực phân biệt theo đề bài ra.

Do đó a + b + 3 = 0 suy ra a + b = -3 (dpcm).

2) Từ câu a suy ra a + b = -3 → (a + b)³ = -27.

→ a³ + b³ + 3ab(a + b) = -27

→ a³ + b³ - 9ab = -27 (*)

Ta lại có a² + 3a + b² + 3b = 4

↔ (a + b)² - 2ab + 3(a + b) = 4

Thay a + b = -3 vào ta được ab = -2

Thay ab = -2 vào (*) ta được a³ + b³ = -45.