Giải bài tập Toán 12 chương 2: Bài ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Để giúp các em học sinh lớp 12 học tập hiệu quả môn Toán, VnDoc.com đã tổng hợp bộ tài liệu ôn tập chương 2 Giải tích 12 kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các em học sinh rèn luyện giải nhanh các bài tập Toán. Mời các bạn và thầy cô tham khảo tài liệu: Giải bài tập Toán 12 chương 2: Bài ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit.

Giải bài tập Toán 12 chương 2: Bài ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Bài 1 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12.

Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lời giải:

Cho \(a, b\) là những số thực dương; \(α,\ β\) là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} {a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\\ \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\\ {\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\\ {\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\\ {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}} \end{array}\)

Nếu a > 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta }\) khi và chỉ khi α > β

Nếu a < 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta}\) khi và chỉ khi α < β.

Bài 2 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12.

Nêu các tính chất của hàm số lũy thừa

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng \((0, +∞)\) SGK Giải tích 12 trang 60.

Nhận xét về đạo hàm, chiều biến thiên, tiệm cận và đồ thị hàm số của hàm lũy thừa trên \((0, +∞)\) trong hai trường hợp: \(TH1: α > 0. \,\,TH2: α < 0.\)

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng \((0, +∞)\)

	\(α > 0\)	\(α < 0\)
Đạo hàm	\(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\)	\(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\)
Chiều biến thiên	Hàm số luôn đồng biến	Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Không có	Tiệm cận ngang là Ox Tiệm cận đứng là Oy
Đồ thị	Đồ thị luôn đi qua điểm (1, 1)

Bài 3 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12

Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit

Lời giải:

*) Tính chất của hàm số mũ:

Tập xác định	\(\mathbb R\)
Đạo hàm	\(y' = {a^x}\ln a\)
Chiều biến thiên	a> 1: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Tiệm cận	Tiệm cận ngang là Ox
Đồ thị	Đi qua các điểm (0, 1) và (1, a) nằm phía trên trục hoành \(\left( {y = {a^x} > 0\,\,\forall x \in R} \right)\)

*) Tính chất của hàm số logarit:

Tập xác định	\(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đạo hàm	\(y' = \frac{1}{{x\ln a}}\)
Chiều biến thiên	a> 1: Hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.
Tiệm cận	Tiệm cận đứng là Oy.
Đồ thị	Đi qua các điểm (1, 0) và (a, 1) nằm phía bên phải trục tung.

Bài 4 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số:

\(a) \,\displaystyle y = {1 \over {{3^x} - 3}}\)

\(b) \,\displaystyle y = \log {{x - 1} \over {2x - 3}}\)

\(c) \,\displaystyle y = \log \sqrt {{x^2} - x - 12}\)

\(d) \,\displaystyle y = \sqrt {{{25}^x} - {5^x}}\)

Lời giải:

a) Xét hàm số : \(y = {1 \over {{3^x} - 3}}\)

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(3^x-3 ≠ 0\,⇔ 3^x\ne3 ⇔ x ≠ 1\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}1\}\)

b) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{ & {{x - 1} \over {2x - 3}} > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(2x - 3) > 0 \cr & \Leftrightarrow x \in ( - \infty ,1) \cup ({3 \over 2}, + \infty ) \cr}\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(D=( - \infty ,1) \cup ({3 \over 2}, + \infty )\)

c) Xét hàm số \(y = \log \sqrt {{x^2} - x - 12}\)

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(x^2- x – 12 > 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(D=(-∞, -3) ∪ (4, +∞)\)

d) Xét hàm số: \(y = \sqrt {{{25}^x} - {5^x}}\)

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\({25^x}-{\rm{ }}{5^x} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{5^{2x}} \ge {\rm{ }}{5^x}⇔ 2x ≥ x⇔ x ≥ 0\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \(D=[0, +∞)\)

Bài 5 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12

Biết \({4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\). Hãy tính: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {\left( {{2^x}} \right)^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2}\\= {4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 23 + 2 = 25\\\Rightarrow \left| {{2^x} + {2^{ - x}}} \right| = 5\end{array}\)

\(Mà \,\,{2^x} + {2^{ - x}} > 0⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}.\)

Chú ý: Nhận thấy đề bài cho giả thiết có chứa \(4^x \,và \,\,4^{-x}\) nhưng biểu thức cần tính giá trị chỉ có \(2^x\, và \,\,2^{-x}\) nên ta cần bình phương biểu thức cần tính giá trị lên để làm xuất hiện \(4^x \,và \,\,4^{-x}\). Sau khi tính toán xong giá trị của \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2}\) ta lấy căn bậc hai và kết luận.

Bài 6 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho \({\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\). Hãy tính \(\log_ax\) với:

\(a) \,x = {a^3}{b^2}\sqrt c\)

\(b) \,x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,{\log _a}x = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right)\\= {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} + {\log _a}\sqrt c \\= {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^{\frac{1}{2}}}\\= 3{\log _a}a + 2{\log _a}b + \dfrac{1}{2}{\log _a}c\\= 3 + 2.3 + \dfrac{1}{2}\left( { - 2} \right) = 8\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,{\log _a}x = {\log _a}\dfrac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\\= {\log _a}{a^4} + {\log _a}\sqrt[3]{b} - {\log _a}{c^3}\\= {\log _a}{a^4} + {\log _a}{b^{\frac{1}{3}}} - {\log _a}{c^3}\\= 4{\log _a}a + \dfrac{1}{3}{\log _a}b - 3{\log _a}c\\= 4.1 + \dfrac{1}{3}.3 - 3\left( { - 2} \right)\\= 11\end{array}\)

Bài 7 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

\(a) \,{3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

\(b) \,{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(c) \,{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

\(d) \,lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

\(e) \,{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

\(g) \,\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Lời giải chi tiết

\(a)\,{3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\)

\(\Leftrightarrow {3^{\left( {x + 3} \right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right) + \left( {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left( {3 - 1} \right) + {5^{x + 3}}\left( {3 - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\)

\(\Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1={\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{0}}\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3} \right\}.\)

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\Leftrightarrow {5^{2x}}-{6.5^x} + 5= 0\)

Đặt \(t = 5^x, \,t > 0\)

Phương trình trở thành:

\({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

\(c)\, {4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(16^x>0\) ta được:

\(4.{\left( {\dfrac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} (t > 0)\) ta được phương trình:

\(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\dfrac{3}{4} = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { 1} \right\}\)

\(d) \,lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Điều kiện: x > 1

\(\eqalign{ & lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _7}x = 0 \hfill \cr {\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x = 8

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 8

\(e) \,{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Điều kiện: x > 0

Ta có:

\(\eqalign{ & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {\sqrt{3}^6} \cr & \Leftrightarrow x = 27 (tm)\cr}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 27

\(g) \,\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

\(Khi \,đó \,\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x \Rightarrow x + 8 = x\left( {x - 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

Chú ý:

\(Phương \,\,trình \,{\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) > 0\end{array} \right.\, hoặc \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

Bài 8 trang 90 - Ôn tập chương II - SGK Giải tích 12

Giải các bất phương trình

\(a) \,{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

\(b) \,{\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

\(c) \,{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

\(d) \,{\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\)

Lời giải chi tiết

\(\displaystyle \begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}{.2^2} + {2^{2x - 3}}{.2^1} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}\left( {4 + 2 + 1} \right) \ge 448\\\Leftrightarrow {7.2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge 64\\\Leftrightarrow 2x - 3 \ge {\log _2}64 = 6\\\Leftrightarrow x \ge \dfrac{9}{2}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\displaystyle S=[{{9}\over {2}}; +∞).\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}b)\,\,{\left( {0,4} \right)^x} - {\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > 1,5\\\Leftrightarrow {\left( {0,4} \right)^x} - 2,5.{\left( {2,5} \right)^x} > 1,5\\\Leftrightarrow {\left( {0,4} \right)^x} - 2,5.\dfrac{1}{{{{\left( {0,4} \right)}^x}}} > 1,5\end{array}\)

Đặt \(\displaystyle t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:

\(\displaystyle \eqalign{ & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t < - 1 \hfill \cr t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Do \(\displaystyle t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:

\(\displaystyle {\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle S = \left( { - \infty ; - 1} \right).\)

c) ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 < {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} = 1\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\displaystyle \Leftrightarrow x \in \left( { - \sqrt 2 ;-1} \right) \cup \left( {1;\sqrt 2 } \right)\)

Ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _3}\left[ {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right] < 1\\\Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {3^1} = 3\,\,\left( {Do\,3 > 1} \right)\\\Leftrightarrow {x^2} - 1 > {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{8}\,\,\left( {Do\,\,0 < \,\dfrac{1}{2} < 1} \right)\\\Leftrightarrow {x^2} > \dfrac{9}{8}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}\\x < - \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(\displaystyle x \in \left( { - \sqrt 2 ; - \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\displaystyle S = \left( { - \sqrt 2 ; - \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\)

\(d) \,\displaystyle {\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\)

ĐK: x > 0

Đặt \(\displaystyle t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành: \(\displaystyle {t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)

Suy ra: \(\displaystyle 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2}\displaystyle \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}}(tm \,\, x>0)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle S=\left({1 \over {125}},{1 \over {25}}\right)\)

Các bạn có thể tham khảo thêm một số tài liệu liên quan khác như:

• Toán 12 Kết nối tri thức bài tập cuối chương 2
• Giải bài tập Toán 12 chương 2 bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Giải bài tập trang 77 SGK Giải tích lớp 12: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
• Giải bài tập trang 84, 85 SGK Giải tích lớp 12: Phương trình mũ và phương trình lôgarit