VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2019-2020

Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 1 trang gồm 9 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số

 

2

3

2

x

yC

xx







.

Tìm tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị





C

của hàm số và có tung độ nguyên.

Câu 2 (2,5 điểm). Cho hàm số

 

4

2

3

22

x

y xC 

.

Tìm tọa độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị

 

C

sao cho tiếp tuyến của đồ thị

 

C

tại M cắt





C

tại

hai điểm phân biệt P, Q khác M thỏa mãn

3MP MQ

với P nằm giữa Q và M.

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm:

  

2 22

1 1 1 2 60xx xx xx mx m     

.

Câu 4 (2,0 điểm). Gọi S là tập nghiệm của phương trình

  



2

2 log 9 1 3 0

xx

xxm m   

(với

m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để tập hợp S có hai phần tử?

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có

5, 10, 13

AB CD AC BD AD BC

   

. Tính

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).

Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có

SA x

=

và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính

thể tích khối chóp S.ABCD theo

x

và tìm

x

để thể tích đó lớn nhất.

Câu 7 (2,0 điểm).

Cho hàm số

 

4 32

g x ax bx cx dx c   

có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm

số





 





fx ggx

.

Câu 8 (2,0 điểm). Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi nột khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một

số từ S. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 15.

Câu 9 (2,0 điểm). Cho hàm số

 

22 2 21

93

22 2 21

xx x

fx p q



 

 

 

. Tìm tất cả các giá trị của

,pq

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

y fx

trên đoạn

1; 1









là nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

---------- HẾT ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số

 

2

3

2

x

yC

xx







.

Tìm tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị

 

C

của hàm số và có tung độ nguyên.

Hướng dẫn

+ Dễ thấy hàm số xác định với mọi

x  

. Xem

y

là tham số, xét phương trình ẩn

x

sau:

 

2

1 2 30yx y x y   

(*). Ta có

0 3.yx

Xét

0y 

thì phương trình (*) có nghiệm

khi và chỉ khi:

   

2

7 2 14 7 2 14

1 4 2 3 0 7 14 1 0

77

y yy y y y

 

      

.

+ Yêu cầu

 

2; 1; 0yy   

. Khi đó tọa độ các điểm cần tìm là

 

1

1;2, ;2

2









  













,

   

1 2; 1 , 1 2; 1   

,

 

3; 0

.

Câu 2 (2,5 điểm). Cho hàm số

 

4

2

3

22

x

y xC 

.

Tìm tọa độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị

 

C

sao cho tiếp tuyến của đồ thị

 

C

tại M cắt





C

tại hai điểm phân biệt P, Q khác M thỏa mãn

3MP MQ

với P nằm giữa Q và M.

Hướng dẫn

+ Giả sử tồn tại điểm

4

2

3

;3

22

m

Mm m























thuộc đồ thị

 

C

thỏa mãn bài toán. Tiếp tuyến của đồ

thị





C

tại M là

 





4

32

3

26 3

22

m

y m mx m m    

cắt





C

tại P, Q khác M thỏa mãn

3MP MQ

với P nằm giữa Q và M.

+ Từ đó suy ra





12

3 3 2 3 2*MP MQ OP OQ OM x x m

      

    

.

+ Mặt khác

12

,xx

khác

m

là các nghiệm của phương trình:

 

   

44

2

2 3 2 43 4

33

3 26 3 4 3 6

22 2 2

xm

x m mxm m x mx m xm          

 

2

62, 3x m mm   

2

1,2

62xm m   

. Thay vào (*) ta được

2m 

(thỏa

mãn). Vậy ta có hai điểm M cần tìm là

5

2;

2

M























và

5

2;

2

M























.

Lời bình:

Bài này giải tương tự đề thi học sinh giỏi tỉnh Khánh Hòa ngày 31/10 năm 2019.

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm:

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

  

2 22

1 1 1 2 60

xx xx xx mx m    

.

Hướng dẫn

+ Dễ thấy phương trình xác định với mọi

x  

. Biếm đổi để cô lập m, ta có:

 

  

2 2 22 2

2 1 1 1 1 1 60m xx xx x xx xx

  





       















.

Đặt

22

2

11

x

t xx xx

xx xx



  

 

đây hàm lẻ đối với x và

22 22

22

lim 1, lim 1

11 11

xx

xx xx xx xx

 



 

   

như thế ta có

 

1; 1t 

.

+ Từ đó ta có phương trình ẩn

t

là:





 

2

2 6 0, 1; 1

2

t

mt t    

     

 

2

12 16 16

2 2 , 1; 1 ' 1 0, 1; 1

22

2

t

m t ft t f t t

tt

t



            





.

Suy ra

13 13 13

13 2

32 6

mm     

.

+ Kết luận: Để phương trình đã cho có nghiệm thì

13 13

26

m  

.

Câu 4 (2,0 điểm). Gọi S là tập nghiệm của phương trình

  



2

2 log 9 1 3 0

xx

xxm m

   

(với

m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để tập hợp S có hai phần tử?

Hướng dẫn

+ Xét phương trình

 

2

2 log 0, 0;fx x x x

    

. Ta có

 

2

'1 0

ln 2

fx

x

 

2

ln 2

x

là điểm cực tiểu của

 

fx

và

 

2

0;

22

min 2 log 0

ln 2 ln2

fx











 













như thế phương trình

 

0fx

có đúng hai nghiệm

2, 4xx

.

+ Bây giờ ta xét

 

9 13 0

xx

mm  

. Đặt

 

2

30 1 0

x

t t m tm     

.

Ta phải có điều kiện

    

2

1 0, 0 1 0t m tm t t tm       

.

• Trường hợp 1:

 

2

1 0,0 ,0 0t m t m t t mt m         

. Mà

*

mm  

• Trường hợp 2:

 

2

1 0, 0 0t m tm t t m      

. Để S có hai phần tử thì cả hai nghiệm

2, 4

xx

đều là nghiệm của phương trình này

9 81mm  

.

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2019-2020 để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học tập môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2019-2020 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 9 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút và có hướng dẫn giải đề. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm học 2019-2020, mong rằng qua đây các bạn có ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 được tốt hơn. Mời các bạn tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...