Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hà Nam năm 2011 - 2012 môn Toán (Có đáp án)

Nhằm giúp các bạn chuẩn bị thật tốt kiến thức để làm bài thi đạt hiệu quả cao, Vndoc.com xin giới thiệu: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hà Nam năm 2011 - 2012 môn Toán (Có đáp án).

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

Câu 1: (4 điểm)

1. Cho hàm số với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi m # 0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d: y = 3x - 3m tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích Δ OAB bằng 2 lần diện tích Δ OCD.

2. Cho hàm số có đồ thị (C). Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2.

Câu 2: (4 điểm)

1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 15x.5^x = 5^x+1 + 27x + 23

2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực:

Câu 3: (6 điểm)

1. Cho tứ diện SABC có AB = AC = a, BC = a/2, SA = a√3 (a > 0). Biết góc SAB = 30^o và góc SAC = 30^o. Tính thể tích khối tứ diện theo a.

2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1/8.

Câu 4: (4 điểm)

Tính các tích phân:

Câu 5: (2 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: