Hướng dẫn giải dạng toán tìm số lượng các số được lập từ điều kiện cho trước
Dạng toán tìm số lượng các số được lập từ điều kiện cho trước
Hướng dẫn giải dạng Toán tìm số lượng các số được lập từ điều kiện cho trước bao gồm các ví dụ minh họa chi tiết với một số bài tập giúp các thầy cô nắm được cách giảng dạy cho học sinh dạng Toán này. Các em học sinh nắm được cách giải để áp dụng vào làm bài tập. Mời thầy cô cùng các em học sinh tham khảo.
Các bài Toán lập số tự nhiên thi Violympic Toán lớp 5
Trong chương trình toán ở Tiểu học, dạng toán tạo lập số, tìm số lượng các số được đề cập ngay từ lớp đầu cấp. Càng lên lớp trên yêu cầu về dạng toán này càng nâng cao và phức tạp hơn. Vậy việc giải toán về tạo lập số, tìm số lượng các số như thế nào cho có hiệu quả cao. Chúng ta hãy cùng giải một số bài toán sau:
Bài toán 1: Cho 3 chữ số 5, 6, 8. Hãy lập tất cả các số có hai chữ số khác nhau từ 3 chữ số trên. Có tất cả bao nhiêu số như vậy?
Phân tích: Bài toán này đề toán cho ít chữ số, các số được lập thỏa mãn các điều kiện: có 2 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số phải khác nhau. Với các điều kiện trên ta có thể ghép 2 chữ số khác nhau lại tạo thành các số rồi đếm.
Giải: Lần lượt đặt các chữ số 5, 6, 8 vào hàng chục ta được các số sau:
56, 58, 65, 68, 85, 86
Có tất cả 6 số như vậy.
Nhận xét: Nếu như đề toán cho nhiều chữ số và các số được lập có nhiều chữ số hơn thì ta chọn cách giải như bài toán 1 là mất thời gian, thậm chí liệt kê ra không hết. Vậy ta nên chọn cách giải nào cho có hiệu quả? Ta tìm hiểu tiếp bài toán 2 sau đây:
Bài toán 2: Cho 3 chữ số 2, 4, 6.
a. Hãy lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.
b. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những số trên.
Phân tích: a. các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện:
Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại.
b. Các số được lập phải thỏa mãn các điều kiện:
Có 3 chữ số; được lập từ các chữ số đã cho; trong mỗi số các chữ số không lặp lại.
Nhận xét: Với những bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng các số thì ta có nên lập sơ đồ cây hay không ? Liệu có cách giải nào khác hay hơn? Nhìn vào bài toán 2 ta thấy nếu các chữ số đã cho khác 0 thì:
* Nếu trong mỗi số được lập các chữ số không phải khác nhau ta có cách tính số lượng số cần lập được tính như sau:
+ Có n chữ số sẽ có n cách chọn hàng cao nhất.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n cách chọn hàng cao thứ nhì.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có n cách chọn hàng cao thứ ba
+ Tương tự ta có n cách chọn cho hàng tiếp theo.
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.
* Nếu trong mỗi số được lập các chữ số phải khác nhau (các chữ số không lặp lại) ta có cách tính số lượngsố cần lập được tính như sau:
+ Có n chữ số sẽ có n cách chọn hàng cao nhất.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao nhất có n - 1 cách chọn hàng cao thứ nhì.
+ Với mỗi cách chọn hàng cao thứ nhì thì có n - 2 cách chọn hàng cao thứ ba.
Số lượng số cần lập bằng tích của các cách chọn.
Lưu ý: Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0 thì chữ số 0 không được đứng làm hàng cao nhất.
Từ nhận xét trên ta giải các bài toán sau:
Bài toán 3: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 em viết được bao nhiêu số:
a. Có 3 chữ số
b. Có 3 chữ số khác nhau?
Giải:
a. Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm (là một trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5). Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 5 cách chọn chữ số hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:
5 x 5 x 5 = 125 (số)
b. Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm thì chỉ có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục (là một trong bốn chữ số còn lại). Với mỗi cách chọn chữ sốở hàng chục thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị.
Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:
5 x 4 x 3 = 60 (số)
Đáp số: a, 125 số
b, 60 số
Bài toán 4: Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 em viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Giải: Ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng trăm là một trong bốn chữ số khác 0: 1, 2, 3, 4. Sau khi đã chọn chữsố ở hàng trăm ta có 4 cách chọn chữ số ở hàng chục là một trong bốn chữ số còn lại. sau khi đã chọn chữsố ở hàng trăm, hàng chục rồi thì chỉ còn 3 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị.
Vậy số lượng số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán là:
4 x 4 x 3 = 48 (số)
Đáp số: 48 số
Bài toán 5: Có bao nhiêu số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5
Phân tích: Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm số lượng số. Ta có thể giải bài toán trên bằng cách:
+ Tìm số lượng số có 3 chữ số (các số từ 100 đến 999).
+ Tìm số lượng số có 3 chữ số không chứa chữ số 5 (được lập từ 9 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 và trong mỗi số các chữ số có thể lặp lại)
+ Số lượng số cần tìm chính là hiệu của hai kết quả trên.
Hướng dẫn
Số lượng các số có ba chữ số là:
999 - 100 + 1 = 900 (số)
* Ta tìm số các số có 3 chữ số không chứa chữ số 5:
-C ó 8 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn một trong các chữ số khác 0 và khác 5).
- Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng trăm ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng chục (chọn một trong các chữsố khác 5).
- Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục ta có 9 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị (chọn một trong các chữsố khác 5).
Ta có số lượng các số có ba chữ số không chứa chữ số 5 là:
8 x 9 x 9 = 648 (số)
Vậy số các số gồm ba chữ số có chứa chữ số 5 là:
900 – 648 = 252 (số)
Đáp số: 252 số
Bài toán 6:
a. Có bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 9.
b. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9.
Phân tích: Bài toán không cho trước các chữ số để lập số; các số được lập phải chia hết cho 9 nên ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm số lượng các số thỏa mãn bài toán.
Giải:
a. Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9999. Cácsố có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau:
1008, 1017, 1026,...., 9999
Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 9 đơn vị. Vậy số lượng các số có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9999 – 1008) : 9 + 1 = 1000 (số)
b. Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 1008, số chẵn lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là 9990. Các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số sau:
1008, 1026, 1044,..., 9990
Hai số liên tiếp thuộc dãy số trên cách nhau 18 đơn vị. Vậy số lượng các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9 là:
(9990 – 1008) : 18 + 1 = 500 (số)
Đáp số: a. 1000 số
b. 500 số
Nói thêm: Cũng có thể giải câu b dựa vào nhận xét: "Số các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 đúng bằng số các số lẻ gồm 4 chữ số chia hết cho 9".
Vậy số các số chẵn gồm 4 chữ số chia hết cho 9 là:
1000 : 2 = 500 (số)
KL: Với mỗi bài toán về tạo lập số, tìm số lượng các số khác nhau ta có các cách giải khác nhau. Tùy vào điều kiện và mức độ yêu cầu cao, thấp của đề bài mà ta lựa chọn cách giải cho phù hợp và đạt hiệu quả cao nhất.
