Luyện tập Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực Cánh Diều

Câu 1: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho hai số $A = 5,B = \frac{\sqrt{50}}{2}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $A > B$
- B.
  $A < B$
- C.
  $A + 2 = B$
- D.
  $A = B$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A = 5 = \sqrt{25} \\B = \dfrac{\sqrt{50}}{2} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} \\\end{matrix} ight.$

Mà $25 > \frac{50}{4} \Rightarrow \sqrt{25} > \sqrt{\frac{50}{4}}$

$\Rightarrow A > B$
Câu 2: Nhận biết
Tìm các cặp số nguyên a, b
Để viết biểu thức $62\sqrt{3} + 93$ dưới dạng $\left( a + b\sqrt{3} ight)^{2};\left( a,b\mathbb{\in Z} ight)$ thì có bao nhiêu cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$62\sqrt{3} + 93 = 31\left( 3 + 2\sqrt{3} ight)$ không thể đưa về dạng đề bài yêu cầu.

Vậy không có cặp số nguyên a, b nào thỏa mãn.
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Căn bậc hai số học của $121$ là:
- A.
  $11$
- B.
  $11; - 11$
- C.
  $12$
- D.
  $- 11$
Hướng dẫn:
Theo định nghĩa ta có $\sqrt{121} = 11$

Vậy căn bậc hai số học của 121 là 11.
Câu 4: Nhận biết
Tìm căn bậc hai số học
Xác định căn bậc hai số học của $( - 9)^{2}$ ?
- A.
  $\pm 9$
- B.
  $9$
- C.
  $- 9$
- D.
  $81$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{( - 9)^{2}} = \sqrt{81} = 9$
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho $M = 5\sqrt[3]{6};N = 6\sqrt[3]{5}$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  M < N
- B.
  M > N
- C.
  M + N = 0
- D.
  M ≥ N
Hướng dẫn:
Ta có:
$\begin{matrix} M = 5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{125}}.\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{125.6}} = \sqrt[3]{{750}} \hfill \\ N = 6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216}}.\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216.5}} = \sqrt[3]{{1080}} \hfill \\ 750 < 1080 \Rightarrow \sqrt[3]{{750}} < \sqrt[3]{{1080}} \hfill \\ \Rightarrow M < N \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho số thực $a \geq 0$ . Căn bậc hai của $a$ là $x$ khi và chỉ khi
- A.
  $x^{2} = a$ và $x \geq 0$
- B.
  $x = a^{2}$
- C.
  $x = a$
- D.
  $x^{2} = a$
Hướng dẫn:
Căn bậc hai của $a$ không âm là một số $x$ sao cho $x^{2} = a$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\sqrt{x^{2}-4x+4}+\sqrt{x^{2}-6x+9}$ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  Một số khác
- D.
  -1
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $\forall x \in \mathbb{R}$
Ta có:
$\begin{matrix} M = \sqrt {{x^2} - 4x + 4} + \sqrt {{x^2} - 6x + 9} \hfill \\ M = \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 3} ight)}^2}} \hfill \\ M = \left| {x - 2} ight| + \left| {x - 3} ight| \hfill \\ M = \left| {x - 2} ight| + \left| {3 - x} ight| \geqslant \left| {x - 2 + 3 - x} ight| = 1 \hfill \\ \Rightarrow MinM = 1 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt{x^{2} - 2x + 6}$ ?
- A.
  $\sqrt{6}$
- B.
  $4$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = \sqrt{x^{2} - 2x + 6} = \sqrt{x^{2} - 2x + 1 + 5}$

$= \sqrt{(x - 1)^{2} + 5}$

Vì $(x - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow A \geq \sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi $(x - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng $\sqrt{5}$ khi $x = 1$ .
Câu 9: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức A
Thực hiện phép tính $A = 3\sqrt{27} - \sqrt{12}$ thu được kết quả là:
- A.
  $2\sqrt{15}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $7\sqrt{3}$
- D.
  $11\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = 3\sqrt{27} - \sqrt{12} = 3.3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho $A = 2\sqrt[3]{3};B = \sqrt[3]{{25}}$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  A ≥ B
- B.
  A < B
- C.
  A > B
- D.
  A + B = 0
Hướng dẫn:
Ta có:
$\begin{matrix} A = 2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8}.\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{24}} \hfill \\ B = \sqrt[3]{{25}} \hfill \\ \sqrt[3]{{24}} < \sqrt[3]{{25}} \Rightarrow A < B \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Nhận biết
Rút gọn biểu thức
Rút gọn biểu thức $2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được
- A.
  −8a
- B.
  9a
- C.
  20a
- D.
  14a
Hướng dẫn:
Ta có:
$\begin{matrix} 2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}} \hfill \\ = 2\sqrt[3]{{{{\left( {3a} ight)}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {2a} ight)}^3}}} + 4\sqrt[3]{{{{\left( {5a} ight)}^3}}} \hfill \\ = 2.3a - 3.2a + 4.5a = 20a \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Thực hiện phép tính
Tính giá trị biểu thức $L = \sqrt[3]{\left( 4 - 2\sqrt{3} ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$ ?
- A.
  $L = \sqrt{3}$
- B.
  $L = - 1 + \sqrt{3}$
- C.
  $L = 2\sqrt{3} - 1$
- D.
  $L = 1 + \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$L = \sqrt[3]{\left( 4 - 2\sqrt{3} ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$

$L = \sqrt[3]{\left( {\sqrt{3}}^{2} - 2\sqrt{3} + 1^{2} ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$

$L = \sqrt[3]{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$

$L = \sqrt[3]{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{3}} = \sqrt{3} - 1$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Căn bậc hai số học của $16$ là:
- A.
  $- 4$
- B.
  $16; - 16$
- C.
  $4$
- D.
  $- 4;4$
Hướng dẫn:
Theo định nghĩa ta có: $\sqrt{16} = 4$

Vậy căn bậc hai số học của 16 là 4.
Câu 14: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho biểu thức $B = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Biểu thức $B$ là số vô tỉ.
- B.
  Biểu thức $B$ là số hữu tỉ.
- C.
  Biểu thức $B$ là số nguyên dương.
- D.
  Biểu thức $B$ là số nguyên.
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}$

$B = \sqrt{6.15\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}}.15}$

$B = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Biểu thức $B$ là số vô tỉ.
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Giá trị của biểu thức $E = \sqrt{\sqrt{5} + 1}.\sqrt{\sqrt{5} - 1}$ là:
- A.
  $E = 3\sqrt{6}$
- B.
  $E = 2$
- C.
  $E = 2\sqrt{5}$
- D.
  $E = 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$E = \sqrt{\sqrt{5} + 1}.\sqrt{\sqrt{5} - 1}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{5} + 1 ight)\left( \sqrt{5} - 1 ight)}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{5} ight)^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4} = 2$