Bài tập cuối chương 8 Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có AE ⊥ AC.

Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ BD.

Kéo theo AE // BD.

Vậy AEBD là hình thang.

Do hình thang AEBD nội tiếp đường tròn (O) nên AEDB là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có:

(do ∆EDC vuông tại D)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ta có:

Kéo theo

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD.

Xét ∆ABI, ∆DCI có AB = CD, (góc nội tiếp cùng chắn AD)

(góc nội tiếp cùng chắn BC).

Do đó ∆ABI = ∆DCI (g – c – g).

Kéo theo AI = ID; IB = IC.

Suy ra AC = AI + IC; ID = IB + BD.

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác ACBD ta có: và cùng nhìn đoạn BC.

Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Có góc và kề bù nên .

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .

Hình vẽ minh họa

Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2).

Từ (1) và (2) suy ra M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng.

Gọi MO ∩ EF = {H}.

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O).

⇒ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)

⇒ MO là đường trung trực của EF ⇒ MO ⊥ EF

⇒∠IFE + ∠OIF = 90°

Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O.

⇒∠OIF = ∠OFI mà ∠MFI + ∠OFI = 90°; ∠IFE +∠OIF = 90°

⇒∠MFI = ∠IFE ⇒ FI là phân giác của ∠MFE (1)

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O)

⇒ MI là phân giác của ∠EMF (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Hình vẽ minh họa

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:

(tổng hai góc đối)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

(tổng 4 góc trong tứ giác).

Vậy câu sai là:

Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.

Hình vẽ minh họa

Các tứ giác nội tiếp là

Vậy có 4 tứ giác nội tiếp đường tròn cần tìm.

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn đường kính có góc là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn .

Xét và ta có: chung và

Xét tứ giác có:

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Chứng minh tương tự ta được tứ giác là tứ giác nội tiếp

Gọi giao điểm của và là .

Xét tam giác có hai đường cao và cắt nhau tại là trực tâm của tam giác

Mà là đường cao của tam giác hay thẳng hàng.

và đồng quy tại

Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là: 5: 2 = 2,5cm.

Hình vẽ minh họa

Gọi tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp (O;2cm)

Khi đó O là trọng tâm tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên AO = 2cm.

Gọi AH là đường trung tuyến

Theo định lý Pytago ta có

Từ đó ta có

Diện tích tam giác ABC là

Để khách sạn cách đều cả ba con đường thì cần phải được xây vào đúng vị trí tâm nội tiếp I của tam giác ABC. Khi đó cho chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC; CA; AB của các tam giác IBC; ICA; IAC đều bằng bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường là 300 m.

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Có (CD vuông góc AB); (AK vuông góc CF) • • 0

⇒ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp

⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.

⇒ (hai góc đối diện)

⇒ phương án sai.

Xét tam giác vuông ADB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án sai

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn nên:

Hình vẽ minh họa

Xét hình vuông có (tính chất)

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và D cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Hình là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (đúng)

Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm (đúng)

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác.