Luyện tập Định lí Viète

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có:

Vậy đáp án cần tìm là:

Xét phương trình có .

Vì khi đó phương trình có hai nghiệm

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

Do là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên

Theo đề bài ra ta có:

Vậy có duy nhất một giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vì là nghiệm của phương trình nên thay vào phương trình ta được:

Heo hệ thức Viète ta có: mà suy ra .

Vì tổng hai nghiệm là:

Tích hai nghiệm là:

Nên cặp số và là nghiệm của phương trình:

Xét

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi .

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là .

Lại có , do đó được xác định với mọi .

Do trái dấu nên với , suy ra , suy ra

Đặt , với , suy ra .

Khi đó mang giá trị âm và đạt giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất.

Ta có , suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Với , ta có
.

Vậy với thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là -2 .

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

Điều kiện:

Vì phương trình có hai nghiệm và nên

Chỉ có phương trình thỏa mãn.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương thì

Vậy đáp án cần tìm là: .

Ta có:

Để phương trình đã cho có nghiệm khi

Theo hệ thức Vi – et ta có:

Mặt khác

Từ (1) và (3) suy ra

Từ (2) và (4) suy ra

Thử lại thì thỏa mãn. Vậy với thỏa mãn yêu cầu.

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Do nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

Ta có:

Theo hệ thức Vi – et ta có: thay vào (**) ta được:

Vậy là giá trị cần tìm.

Ta có:

Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Theo hệ thức Viète ta có:

Do đó:

Vậy phương trình cần tìm là: hay .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Từ định lí Viète ta có:

Vì phương trình có hai nghiệm sao cho nên suy ra

Thay vào phương trình ta được: .

Kiểm tra với điều kiện (*) thấy các giá trị của m đều thỏa mãn.

Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn bằng 3.

Với phương trình có .

Vì nên phương trình có hai nghiệm .

Theo định lí Viète ta có: mà một nghiệm

Vậy nghiệm còn lại của phương trình bằng 2.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm thì

Vậy đáp án cần tìm là: .

Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm và nghiệm còn lại là .