Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Phú Yên
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
Ngày thi: 05/03/2025
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024 – 2025
Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: =
+
×
a) Tìm điều kiện xác định của
b) Chứng minh rằng: =
c) Với giá trị nguyên nào của thì có giá trị nguyên.
Câu 2: (3.00 điểm) Cho
= +
1
= +
1
= +
1
và biểu thức =
+
+
Chứng minh rằng với mọi giá trị của , thì biểu thức không phụ thuộc vào biến , .
Câu 3: (4.00 điểm) Giải phương trình sau:
+
=
Câu 4: (4.00 điểm)
1. Cho đường tròn tâm (O) và hai dây cung MN, PQ cắt nhau tại I với cung QN không chứa
điểm P và cung MP không chứa điểm Q. Chứng minh rằng:
=
(
+
).
2. Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
3. Trên đường tròn tâm (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho
=
. Dựng hai dây cung BD
và BE, chúng cắt dây AC lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng.
a) Tứ giác EDMN là tứ giác nội tiếp
b) Nếu AN = CM thì tứ giác EDMN là hình gì? Vì sao?
Câu 5: (3.00 điểm) Cho hai đường tròn (O
1
; R) và (O
2
; r) tiếp xúc ngoài tại I (R > r). Một
đường thẳng d không đi qua I đồng thời tiếp xúc với (O
1
; R) và (O
2
; r) lần lượt tại hai điểm A,
B. Gọi H là chân đường cao kẻ từ O
2
đến cạnh O
1
A. Gọi M là trung điểm của AH, đường thẳng
qua M vuông góc với AH cắt đường tròn (O
1
; R) tại điểm K (K khác phía I so với AH).
Chứng minh rằng:
a) AK =
.
b) Đường thẳng KH tiếp xúc với (O
2
; r).
Câu 6: (2.00 điểm) Cho hai số 0, 0. Chứng minh rằng:
()()
()
()
LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ YÊN
NĂM HỌC 2024 – 2025
(ĐÁP ÁN THAM KHẢO)
Câu 1: (4.00 điểm) Cho biểu thức: =
+
×
a) Tìm điều kiện xác định của
b) Chứng minh rằng: =
c) Với giá trị nguyên nào của thì có giá trị nguyên.
Bài giải:
a) Để biểu thức xác định thì:
+ 2
+ 1
+ 1 0
+ 1
1 0
+ 1 0
Với + 2
+ 1 + 1 0 thì ta có:
+ 2
+ 1 + 1 =
+ 1
+ 1 + 20
Suy ra:
+ 1 0 hoặc
+ 1 + 2 0 (luôn đúng)
Do đó:
+ 1 0, suy ra 1
Với
+ 1 1 0 thì ta có:
+ 1
1
+ 1 1
0
Với + 1 0 thì ta có:
1
Vậy để biểu thức xác định thì: > 1 và 0
b) =
+
×
=
+1
+1+2
+
×
=
+1
+1
+1+2
×
Đặt =
+ 1, khi đó biểu thức trở thành:
=
(
)
×
=
(
)()
()
(
)
Ta có:
+ 2 =
+ 22 =
(
1
)
+ 2
(
1
)
= (1)(+ 2)
Khi đó biểu thức trở thành:
=
()()()
()
(
)
=
=
(đpcm)
c) Ta có =
= 1 +
Để có giá trị nguyên thì 1 +
1
+1
sẽ có giá trị nguyên, mà 1 đã là số nguyên nên do đó
cũng sẽ là số nguyên hay 1 chia hết cho
+ 1.
Điều này tương đương với
+ 1
thược ước của 1.
Hay
+ 1
{
±1
}
mà
+ 1 > 0 nên
+ 1 = 1, suy ra: + 1 = 1 hay = 0.
Nhưng để xác định thì phải thỏa mãn > 1 và 0.
Do đó không có giá trị nguyên nào xủa thỏa mãn để là số nguyên.
Câu 2: (3.00 điểm) Cho
= +
1
= +
1
= +
1
và biểu thức =
+
+
Chứng minh rằng với mọi giá trị của , thì biểu thức không phụ thuộc vào biến , .
Bài giải:
Ta có: = +
1
, suy ra
=
+
+ 2
=
+
+ 2
= +
1
, suy ra
=
+
+ 2
=
+
+ 2
= +
1
, suy ra
=
+
()
+ 2
()
= ()
+
()
+ 2
= +
1
+
1
+
1
= +
1
+
+
+
1
= ()
+
()
+
+
+
+
+ 2
Do đó:
=
+
+
=
+
+ 2 +
+
+ 2 + ()
+
()
+ 2 – ()
+
()
+
+
+
+
+ 2
= 4
Vậy với mọi giá trị của , thì biểu thức không phụ thuộc vào biến , .
Câu 3: (4.00 điểm) Giải phương trình sau:
+
=
Bài giải:
Thực hiện quy đòng vế trái ta có:
+
=
()
()
=
(
)
=
Đề chọn học sinh giỏi Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Phú Yên được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao bao gồm cả đáp án và lời giải chi tiết, nhằm hỗ trợ quý thầy cô tham khảo, hướng dẫn ôn tập cho học sinh một cách hiệu quả.
Với nội dung được chọn lọc kỹ lưỡng, bài viết không chỉ giúp giáo viên hiểu rõ cấu trúc đề, ra đề sát với chuẩn năng lực mà còn là nguồn tài liệu hữu ích để nâng cao hiệu suất ôn thi cho học trò.
