Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Khoa học tự nhiên năm 2013

MÔN THI: ĐẠI SỐ
Thời gian: 150 phút

Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f: M_n(R) → R

a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho f(A) = Tr(AC)

b/ Nếu thêm giả thiết f (AB) = f (BA) với mọi A,B thì tồn tại α thuộc R sao cho f(A) = αTr(A)

Bài 2:

Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận là một ma trận chéo hóa được. Ở đó I_n là ma trận đơn vị cấp n.

Bài 3: Cho x_i, y_i, 1 ≤ i ≤ n là các số phức với với x_i, y_i # 1 mọi cặp x_i, y_i

Tính định thức của ma trận M = (m_i,j)_{m × n}, ở đó:

Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận unita cỡ n × n với hệ số phức.

Chứng minh rằng |det(AB)| ≤ 2ⁿ

Bài 5:

a/ Cho A thuộc M₃(Q) là một ma trận thỏa mãn điều kiện A⁵ = I. Chứng minh rằng $A = I$

b/ Cho A thuộc M₄(Q) là một ma trận thỏa mãn điều kiện A⁵ = I. Kết luận A = I có còn đúng không? Tại sao?

Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn: P(x)P(x1) = P(x²), với mọi x thuộc R

Định nghĩa và ký hiệu:

(1) Tr(B) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B

(2) M_n(Q) = {(a_i,j)_{n × n} | a_i,j thuộc Q}

(3) Giả sử A = (a_i,j)_{n × n}. Ma trận phụ hợp phức A* = (a^*_i,j)_{n × n} của A được định nghĩa như sau: a*_i,j = a_j,i.

Ma trận A được gọi là unita nếu AA* = A*A = I

MÔN THI: GIẢI TÍCH
Thời gian:120 phút

Bài 1: Tính giới hạn sau:

Bài 2: Cho g: R → R là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi φ(x) sao cho: φ'(x) = g(φ(x)), với mọi x thuộc R

Chứng minh rằng nếu lim_x→∞φ(x) = b thì g(b) = 0

Bài 3: Cho hai dãy số thực {x_n}₀^∞ và $\left \{ y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1. x_n1 ≥ x_n, với mọi n = 0, 1, 2,..., xo = 0; lim_n→∞x_n = ∞.

2. lim_n→∞y_n = 1.

Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho hàm số f: (0; ∞) → R thỏa mãn các điều kiện sau:

1.

2. f bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong (0; ∞).

Chứng minh rằng:

Bài 5:

Cho đa thức P(x) = ax³bx²cxd với các hệ số a, b, c, d thuộc R và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên (x, y); x # y sao cho xP(x) = yP(y). Chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có nghiệm nguyên.