Đề thi Olympic Toán sinh viên trường ĐH Kinh tế quốc dân năm 2013
TRƯỜNG ĐH KINH TẾ QUỐC DÂNĐỀ CHÍNH THỨC | KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2013ĐỀ THI OLYMPIC SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG |
Câu 1:
Cho dãy số {un} xác định như sau: 
Tìm 
Câu 2:
Cho f : [0,1] → [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1. Đặt 
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho fn(x) = x; với mọi x thuộc [0; 1]. Chứng minh rằng: f(x) = x, với mọi x thuộc [0; 1]
Câu 3:
Cho f: R → R là hàm khả vi có đạo hàm cấp 2 không âm. Chứng minh rằng f(xf'(x)) ≥ f(x), với mọi x thuộc R
Câu 4:
Tìm hàm số f: R → R thỏa mãn f(xf(y)x) = xyf(x), với mọi x, y thuộc R
Câu 5:
a) Tính tích phân 
b) Giả sử f(x) là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng: 
Câu 6:
Cho f: [a, b] → (a; b)là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương α và c thuộc (a, b) sao cho:
