Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)

Tài liệu hình học Toán 9 ôn thi vào 10
Lớp: Lớp 9
Môn: Toán
Loại File: PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó được
gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
I. Phương pháp 1 chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
0
60
,,,ABCD
cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Gọi
I
là trung điểm
CD
, ta có
//
IC AB
ICBA
IC AB
=
⇒
là hình hành
BC AI⇒=
(1)
Tương tự
AD BI
=
(2)
ABCD
là hình thang có
nên
ABCD
là hình thang cân(3); mà
Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác
;ICB IAD
đều hay
DIA IB IC I= = =
hay bốn điểm
,,,ABCD
cùng
thuộc một đường tròn.
trên
, , AB BC CD
và
DA
. Chứng minh bốn điểm
, , MNR
và
S
cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Chủ đề 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
CÁC VÍ DỤ.
Mức độ 1:
M,N,
R
và
S
lần lượt là hình chiếu của
O
Bài 2: Cho hình thoi
ABCD
. Gọi
O
là giao điểm hai đường chéo.
CD= =
,
CD = 2AD
. Chứng minh bốn điểm
Bài 1: Cho hình thang
ABCD
(AB / / CD, AB < CD)
có
BCD
nên
MAO SAO NCO PDO OM ON OP OS
∆ =∆=∆ =∆ ⇒===
hay bốn điểm
, , MNR
và
S
cùng thuộc
một đường tròn.
Chứng minh
, , ,
BKHC
cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Gọi
I
là trung điểm
CB
, do
;
CHB CKB
∆∆
vuông tại
,
HK
nên
IC IB IK IH= = =
hay
, , ,
BKHC
cùng nằm trên một đường tròn tâm
I
.
O
). Lấy điểm
E
trên cung nhỏ
BC
(
E
khác
B
và
C
),
AE
cắt
CD
tại
F
. Chứng minh:
BEFI
là tứ
giác nội tiếp đường tròn.
Hướng dẫn giải
F
E
I
O
D
C
B
A
Tứ giác
BEFI
có:
0
BIF 90=
(gt)
0
BEF BEA 90= =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra tứ giác
BEFI
nội tiếp đường tròn đường kính
BF
điểm). Trên cung nhỏ
BC
lấy một điểm
M
, vẽ
MI AB⊥
,
MK AC⊥
, MI
⊥
AB, MK
⊥
AC
( )
,I AB K AC∈∈
a) Chứng minh:
AIMK
là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Do
ABCD
là hình thoi nên
O
là trung điểm của
AC,BD
;
AC,BD
là phân giác góc
A, , ,
Mức độ 2:
Bài 3: Cho tam giác
ABC
có các đường cao
BH
và
CK
.
Bài 1:Cho đường tròn
O
đường kính
AB
. Vẽ dây cun g
CD
vuông góc với
AB
tại
I
(
I
nằm giữa
A
và
Bài 2:
Từ một điểm
A
nằm ngoài đường tròn
(O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến
AB, AC
với đường tròn (
B
,
C
là tiếp
⊥∈
. Chứng minh:
CPMK
là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải
H
O
P
K
I
M
C
B
A
a) Ta có:
0
AIM AKM 90= =
(gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.
b) Tứ giác CPMK có
0
MPC MKC 90= =
(gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp
sao cho:
0
IEM 90=
(
I
và
M
không trùng với các đỉnh của hình vuông ).
a) Chứng minh rằng
BIEM
là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc
IME
c) Gọi
N
là giao điểm của tia
AM
và tia
DC
;
K
là giao điểm của
BN
và tia
EM
. Chứng min
BKCE
là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải
I
E
M
N
B
C
A
D
K
a)Tứ giác
BIEM
:
0
IBM IEM 90= =
(gt);hay tứ giác
BIEM
nội tiếp đường tròn đường kính
IM
.
b) Tứ giác
BIEM
nội tiếp suy ra:
0
IME IBE 45= =
(do
ABCD
là hình vuông).
c)
EBI∆
và
ECM∆
có
BE CE=
,
( do
0
IEM BEC 90= =
)
⇒
=EBI ECM∆∆
(g-c-g)
⇒
MC IB MB IA=⇒=
)
b)Vẽ
MP BC
(
P BC
Bài 3: Cho hình vuông
ABCD
có hai đường chéo cắt nhau tại
E
. Lấy
I
thuộc cạnh
AB
,
M
thuộc cạnh
BC

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là phần bài tập về Tứ giác nội tiếp được chia làm hai phần: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Phần lý thuyết được chia thành các cách chứng minh Tứ giác nội tiếp và gồm các mức độ phân loại học sinh. Phần bài tập được sưu tầm và chọn lọc để các bạn học sinh có thể áp dụng lý thuyết phía trên vận dụng làm bài. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố lại kiến thức về Tứ giác nội tiếp đồng thời nắm vững các kiến thức để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

A. Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

B. Cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD;(AB//CD,AB < CD) có \widehat{C} = \widehat{D} = 60^{\circ},CD = 2AD. Chứng minh bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm CD, ta có \left\{ \begin{matrix} IC = AB \\ IC//AB \\ \end{matrix} \Rightarrow ICBA \right. là hình hành \Rightarrow BC = AI

Tương tự AD = BI

ABCD là hình thang có \widehat{C} = \widehat{D} = 60^{\circ} nên ABCD là hình thang cân (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB;IAD đều hay IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.

Mức độ 3:

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nưa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nưa đường tròn ( C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E;MB cắt nưa đường tròn (O) tại D(D khác B).

Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải

Vì MA,MC là tiếp tuyến nên: \widehat{MAO} = \widehat{MCO} = 90^{\circ} \Rightarrow AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
\widehat{ADB} = 90^{\circ} (góc nội tiếp chắn nưa đường tròn) \Rightarrow \widehat{ADM} = 90^{\circ} (1)

Lại có: OA = OC = R;MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC \Rightarrow \widehat{AEM} = 90^{\circ}(2).

Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và \left( O' \right) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC,AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và \left( O' \right).

a) Chứng minh ba điểm C,B,D thẳng hàng.

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn \left( O' \right) tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F(E,F khác A). Chứng minh bốn điểm C,D,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

a) \widehat{ABC} và \widehat{ABD} lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và \left( O' \right) \Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ABD} = 90^{\circ}

Suy ra C,B,D thẳng hàng.

b) Xét tứ giác CDEF có:

\widehat{CFD} = \widehat{CFA} = 90^{\circ} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )

\widehat{CED} = \widehat{AED} = 90^{\circ} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \left( O' \right)

\widehat{CFD} = \widehat{CED} = 90^{\circ} suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp.

Bài 3: Cho 2 đường tròn (O) và \left( O' \right) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), \left( O' \right) lần lượt tại điểm thứ hai C và D. Đường thẳng O'A cắt (O),\left( O' \right) lần lượt tại điểm thứ hai EE, F.

1. Chứng minh 3 đường thẳng AB,CE và DF đồng quy tại một điểm I .

2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \widehat{ABC} = 90^{\circ} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\widehat{ABF} = 90^{\circ} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B,C,F thẳng hàng. AB,CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.

2. Do \widehat{IEF} = \widehat{IBF} = 90^{\circ} suy ra BEIF nội tiếp đường tròn.

Mức độ 4:

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua V và vuông góc với NM cắt Ax,By thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \bigtriangleup ANB đồng dạng với \bigtriangleup CMD từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Ta có tứ giác ACNM có: \widehat{MNC} = 90^{\circ}(gt)\widehat{MAC} = 90^{\circ} (tính chất tiếp tuyến).

\Rightarrow ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC. Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính. MD

b) \bigtriangleup ANB và \bigtriangleup CMD có:

\widehat{ABN} = \widehat{CDM} (do tứ giác BDNM nội tiếp)

\widehat{BAN} = \widehat{DCM} (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên \bigtriangleup ANB \sim \bigtriangleup CMD (g.g)

c) \bigtriangleup ANB \sim \bigtriangleup CMD \Rightarrow \widehat{CMD} = \widehat{ANB} = 90^{\circ} (do \widehat{ANB} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )

Suy ra \widehat{IMK} = \widehat{INK} = 90^{\circ} \Rightarrow IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK

Phương pháp 2: Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau (tổng hai góc đối diện bằng 1800.

Ví dụ 2: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax . Tia BM cắt Ax tại I ; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E ; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H , cắt AM tại K . Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có: \widehat{AMB} = 90^{\circ} (nội tiếp chắn nửa đường tròn) \Rightarrow \widehat{KMF} = 90^{\circ} (vì là hai góc kề bù). \widehat{AEB} = 90^{\circ} (nội tiếp chắn nửa đường tròn) \Rightarrow \widehat{KEF} = 90^{\circ} (vì là hai góc kề bù).

\Rightarrow \widehat{KEF} + \widehat{KMF} = 180^{\circ} do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp 3: Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.

Ví dụ 3: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M và MI\bot AB,MK\bot AC(I \in AB,K \in AC)

a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ MP\bot BC(P \in BC) . Chứng minh: \widehat{MPK} = \widehat{MBC} .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a. Ta có \widehat{AIM} = \widehat{AKM} = 90^{0} (giả thiết)

Suy ra tứ giác AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

b. Tứ giác CPMK có \widehat{MPC} = \widehat{MKC} = 90^{0} (giả thiết). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp

\Rightarrow \widehat{MPK} = \widehat{MCK} (1)

Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: \widehat{MCK} = \widehat{MBC} (cùng chắn cung MC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \widehat{MPK} = \widehat{MBC} (3)

Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với MN cắt Ax và By thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \bigtriangleup ANB \sim \bigtriangleup CMD.

c) Gọi I là giao điểm của AN và CM,K là giao điểm của BN và DM. Chứng

minh IMKN là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ACNM có: \widehat{MNC} = 90^{\circ}(gt)\widehat{MAC} = 90^{\circ} (tính chất tiếp tuyến).

\Rightarrow ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC. Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD.

b) \bigtriangleup ANB và \bigtriangleup CMD có:

\widehat{ABN} = \widehat{CDM} (do tứ giác BDNM nội tiếp)

\widehat{BAN} = \widehat{DCM} (do tứ giác ACNM nội tiếp) \Rightarrow \bigtriangleup ANB \sim \bigtriangleup CMD (g.g)

c) \bigtriangleup ANB \sim \bigtriangleup CMD \Rightarrow \widehat{CMD} = \widehat{ANB} = 90^{\circ} (do \widehat{ANB} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ).

Suy ra \widehat{IMK} = \widehat{INK} = 90^{\circ} \Rightarrow IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB,M thuộc cạnh BC sao cho: \widehat{IEM} = 90^{\circ} ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông).

a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Tính số đo của góc \widehat{IME}

c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC;K là giao điểm của BN và tia EM. Chứng min hBKCE là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác BIEM:\widehat{IBM} = \widehat{IEM} = 90^{\circ}(gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường

tròn đường kính IM.

b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: \widehat{IME} = \widehat{IBE} = 45^{\circ} (do ABCD là hình vuông).

c) \bigtriangleup EBI và \bigtriangleup ECM có BE = CE,\widehat{BEI} = \widehat{CEM}\ (do \left. \ \widehat{IEM} = \widehat{BEC} = 90^{\circ} \right)

\Rightarrow \bigtriangleup EBI = \bigtriangleup ECM (g-c-g) \Rightarrow MC = IB \Rightarrow MB = IA

Vì CN//BA nên theo định lí Thalet, ta có: \frac{MA}{MN} = \frac{MB}{MC} = \frac{IA}{IB}. Suy ra IM//BN (định lí Thalet đảo)

\Rightarrow \widehat{BKE} = \widehat{IME} = 45^{\circ} (2). Lại có \widehat{BCE} = 45^{\circ} (do ABCD là hình vuông).

Suy ra \widehat{BKE} = \widehat{BCE} \Rightarrow BKCE là tứ giác nội tiếp.

Bài 2: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD;AD với CE.

1. Chứng minh rằng: DE//BC

2. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------------

❓ FAQ

1. Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có: 👉 Bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

2. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là gì?

Một dấu hiệu quan trọng: \widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ (tức tổng hai góc đối bằng 180^\circ)

3. Vì sao tứ giác nội tiếp quan trọng trong hình học lớp 9?

Đây là chuyên đề xuất hiện rất nhiều trong:

  • Đề thi vào lớp 10
  • Bài toán chứng minh hình học nâng cao

4. Những dạng toán tứ giác nội tiếp thường gặp là gì?

  • Chứng minh tứ giác nội tiếp
  • Tính góc
  • Chứng minh đồng quy, thẳng hàng
  • Chứng minh hệ thức hình học

5. Làm sao chứng minh tứ giác nội tiếp nhanh?

Các cách phổ biến:

  • Chứng minh tổng hai góc đối bằng 180^\circ
  • Chứng minh hai góc cùng chắn một cung

6. Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đối diện có nội tiếp không?

Có. Đây là một dấu hiệu quen thuộc để: 👉 Chứng minh tứ giác nội tiếp.

7. Sai lầm phổ biến khi làm bài tứ giác nội tiếp là gì?

  • Nhầm góc nội tiếp và góc ở tâm
  • Suy luận thiếu căn cứ
  • Vẽ hình chưa chính xác

-------------------------------------------------

Ngoài Chuyên đề Tứ giác nội tiếp, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 Toán 9, đề cương ôn tập các môn Toán 9 học kì 2,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề Tứ giác nội tiếp này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Chọn file muốn tải về:

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)

674,8 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
16
21.002 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi