Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Sóc Trăng
Đề chọn học sinh giỏi Toán THCS
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
2 x
x − 4 x + 3
2 − x
x −1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
S ÓC TRĂNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
Năm học 2024-2025
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức
P = + +
với
x ≥ 0 và
x ≠ 1, x ≠ 9.
a)
Rút gọn biểu thức P.
b)
Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P nhận giá trị là số chẵn.
Bài 2: (4,0 điểm)
a)
Một con ếch đang ở giữa một bảng có 5× 5 ô vuông được tô hai màu
trắng và đen (như hình vẽ). Mỗi bước nhảy con ếch nhảy sang một ô khác có
chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô trước đó. Tính xác suất sau hai bước nhảy con
ếch ở ô màu đen.
b)
Tìm tất cả các số nguyên
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình
x, y thoả mãn
3+ 2+ 5
+ = 2
4+ 3= 5
x
(
x + 2
)(
2x +1
)(
2x + 5
)
= y
2
.
.
b) Trên một cánh đồng trống tiếp giáp với một bờ
sông, người nông dân dự định rào lại cánh đồng hình chữ
nhật để trồng cây với diện tích cần rào là
180 000 m
2
và
không cần rào phía giáp bờ sông. Người nông dân cần chọn
các kích thước cần rào như thế nào để độ dài của hàng rào
là nhỏ nhất?
Bài 4: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn
(
O; R
)
và
(
O
′
; R
′
)
cắt nhau tại A và B
(
R > R
′
)
.
Vẽ hai tiếp
tuyến chung của hai đường tròn đó, chúng cắt nhau ở S. Gọi C và
M là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến
trên với
(
O; R
)
,
D là tiếp điểm của tiếp tuyến SC với
(
O
′
; R
′
)
(ba điểm A, C và D thuộc cùng nửa
mặt phẳng bờ SO ). Gọi
F là giao điểm của tia BA với CD.
a)
Chứng minh
FC
2
= FA.FB.
b)
Tia SA cắt
(
O; R
)
tại E, SO cắt CM tại H. Chứng minh tứ giác AHOE nội tiếp.
c)
Chứng minh ADC = CAE.
Bài 5: (4,0 điểm)
a)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, ngoại tiếp đường tròn tâm I. Tia AI cắt BC
tại A
1
và cắt đường tròn
(
O
)
tại A
2
. Tương tự, lần lượt ta thu được các điểm B
1
, B
2
và C
1
, C
2
. Chứng
minh rằng
A
2
B = A
2
C = A
2
I và
A
2
B + A
2
C
+
B
2
A + B
2
C
+
C
2
A + C
2
B
≥ 12.
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
b)
Trên bàn có 2026 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 2026. Hai bạn An và Bình tiến hành trò
chơi bằng cách thay phiên nhau lấy thẻ, đến lượt chơi mỗi bạn sẽ lấy một thẻ cho đến khi hết tấm thẻ
trên bàn. Sau đó mỗi người cộng số trên các thẻ mà mình có, ai ra số chẵn sẽ thắng. Nếu An chơi
trước thì bạn nào có chiến thuật để luôn thắng và chiến thuật đó như thế nào?
------ Hết ------
Họ tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: …………………….
Chữ ký của Giám thị 1: .....................................; Chữ ký của Giám thị 2: …...........................
2 x − 5
x − 3
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
Năm học 2024-2025
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này có 05 trang)
Bài
Đáp án
Điểm
Cho biểu thức P =
2 x
+
2 − x
+
2 x − 5
với x ≥ 0 và
x ≠ 1, x ≠ 9.
4,0
x − 4 x + 3 x −1 x − 3
a) Rút gọn biểu thức P.
3,0
2 x 2 − x 2 x − 5
P =
(
x −1
)(
x − 3
)
+
x −1
+
x − 3
2
x
+
(
2
−
x
)(
x
−
3
)
+
(
2
x
−
5
)(
x
−
1
)
P
=
(
x
−
1
)(
x
−
3
)
P =
2 x − x + 5 x − 6 + 2x − 7 x + 5
(
x
−
1
)(
x
−
3
)
x −1
P
=
(
x
−
1
)(
x
−
3
)
(
x
−
1
)(
x
+
1
)
P
=
(
x
−
1
)(
x
−
3
)
P =
x +1
.
x − 3
3,0
1
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P nhận giá trị là số chẵn.
1,0
P =
x
−
3
+
4
= 1+
4
0,25
x − 3 x − 3
P nhận giá trị là số chẵn khi x − 3 là ước số của 4. Ta có các trường hợp sau:
+ x
−
3
=
4 hay x
=
49
+ x
−
3
=
−
4 hay x
=
−
1 (vô nghiệm)
+ x − 3 = 2 hay x = 25
0,5
+ x − 3 = −2 hay x =1 (loại)
+ x − 3 =1 hay x = 16
+ x
−
3
=
−
1 hay x
=
4
Thử lại ta thấy P nhận giá trị là số chẵn khi x = 49.
0,25
3
2
a) Một con ếch đang ở giữa một bảng có
5×5
ô vuông
được tô hai màu trắng và đen (như hình vẽ). Mỗi bước
nhảy con ếch nhảy sang một ô khác có chung cạnh hoặc
chung đỉnh với ô trước đó. Tính xác suất sau hai bước
nhảy con ếch ở ô màu đen.
2,0
Số các kết quả có thể xảy ra là
n
(
Ω
)
= 8.8 = 64
0,5
Gọi
A
là biến cố sau hai bước nhảy con ếch ở ô được tô màu đen
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là
n
(
A
)
= 8.4 = 32
1,0
Xác suất của biến cố A là P
(
A
)
=
n
(
A
)
=
32
= 0,5.
n
(
Ω
)
64
0,5
b)
Tìm tất cả các số nguyên
x, y
thoả mãn
x
(
x + 2
)(
2x +1
)(
2x + 5
)
= y
2
(1).
2,0
(
2x
2
+ 5x
)(
2x
2
+ 5x + 2
)
= y
2
0,25
Đặt
t = 2x
2
+ 5x +1
Phương trình (1) trở thành
(
t −1
)(
t +1
)
= y
2
0,5
(
t − y
)(
t + y
)
= 1
0,25
t + y = t − y hay y = 0
0,25
Thay vào phương trình (1) ta được các nghiệm nguyên là
x
1
= 0, x
2
= −2
0,5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là
(
0; 0
)
,
(
−
2; 0
)
.
0,25
a)
Giải hệ phương trình
3+ 2+ 5
+ = 2
4+ 3= 5
2,0
3
Điều kiện:
3+ 2+ 5 0
+ 0
0,25
Đặt:
=
3+ 2+ 5
=
+
(0; 0)
0,25
Hệ phương trình đã cho trở thành
= 2
+
= 10
0,25
= + 2
(+ 2)
+
= 10
hay
= + 2
+ 23 = 0
0,5
= + 2
= 1 = 3()
suy ra
= 3
= 1
0,5
Đề chọn học sinh giỏi Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Sóc Trăng được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao bao gồm cả đáp án và lời giải chi tiết, nhằm hỗ trợ quý thầy cô tham khảo, hướng dẫn ôn tập cho học sinh một cách hiệu quả.
Với nội dung được chọn lọc kỹ lưỡng, bài viết không chỉ giúp giáo viên hiểu rõ cấu trúc đề, ra đề sát với chuẩn năng lực mà còn là nguồn tài liệu hữu ích để nâng cao hiệu suất ôn thi cho học trò.
